Enunciado

Considere uma casa com telhado plano cujas dimensões externas sejam 12   m × 12   m . As paredes externas da casa têm 6 m de altura. As paredes e o telhado da casa são feitos de concreto k = 0,75 W m   ·   K com 20 cm de espessura. As temperaturas das superfícies interna e externa da casa são de 15°C e 3°C, respectivamente. Levando-se em conta os efeitos das bordas das superfícies adjacentes, determine a taxa de perda de calor da casa através de suas paredes e do telhado. Qual é o erro envolvido em ignorar os efeitos das arestas e cantos e tratar o telhado como superfície de 12   m × 12   m e as paredes como superfícies de 6   m × 12   m por simplicidade?

Passo 1

Vamos começar mais umaaa!!

Queremos achar a transferência de calor através das paredes e do telhado, levando em consideração as arestas, certo?

Então:

Q T o t a l ˙ = Q p a r e d e s + t e t o ˙ + Q c a n t o s + a r e s t a s ˙

O calor transferido pelas paredes e pelo teto, Q p a r e d e s + t e t o ˙ , ocorre por condução:

Q p a r e d e s + t e t o ˙ = k A p a r e d e s + t e t o L ( T i n t - T e x t )

Já sabemos que:

k = 0,75 W m   ·   K

L = 20   c m = 0,2   m

T i n t = 15 ° C

T e x t = 3 ° C

Agora só precisamos saber da área total das paredes e do teto, desconsiderando os cantos e as arestas, beleza?

A área de um retângulo é dada pela multiplicação da largura e comprimento, se desconsideramos as espessuras:

Então a área total será dada pela soma da área do teto mais a área das 4 paredes:

A p a r e d e s + t e t o = 12   m - 0,4   m 12   m - 0,4   m + 4 12   m - 0,4   m 6   m - 0,2   m

A p a r e d e s + t e t o = 403,68   m 2

É importante vocês lembrarem que na altura, 6 m, nós removemos apenas um valor referente à espessura (parte superior) já que na parte inferior nós não observamos esta espessura, tranquilo?

Agora sim, basta nós substituirmos na fórmula:

Q p a r e d e s + t e t o ˙ = 0,75 W m   ·   K × 403,68   m 2 0,2   m ( 15 ° C - 3 ° C )

Q p a r e d e s + t e t o ˙ = 18165,6   W

Passo 2

Já achamos o calor trocado pela primeira seção, certo?

Agora vamos achar o da segunda seção, onde o tubo está inserido verticalmente no solo.

Já sabemos que nesta situação podemos calculá-lo como:

Q c a n t o s + a r e s t a s ˙ = S c a n t o s + a r e s t a s k T i n t - T e x t

A única informação que nós não temos é o fator de forma de condução.

Se temos quatro cantos e quatro arestas:

S c a n t o s + a r e s t a s = 4 × S c a n t o s + 4 × S a r e s t a s

O fator de forma de condução para varias configurações de arestas, formadas entre duas paredes adjacentes de espessura igual é dado por:

S a r e s t a s = 0,54   w

E o canto:

S c a n t o s = 0,15 L

Então:

S c a n t o s + a r e s t a s = 4 × 0,54   w + 4 × 0,15 L

Lembrando que:

w = 12   m

L = 0,2   m

S c a n t o s + a r e s t a s = 4 × 0 , 1 5   0,2   m + 4 × 0,15 12   m

S c a n t o s + a r e s t a s = 26,04   m

Na fórmula do calor:

Q c a n t o s + a r e s t a s ˙ = 26,04   m 0,75 W m 2   ·   K 80 ° C - 5 ° C

Q c a n t o s + a r e s t a s ˙ = 234   W

Agora é só calcular o valor total:

Q t o t a l ˙ = 18165,6   W + 234   W = 18399,6   W

Ou melhor:

Q t o t a l ˙ = 18 , 4   k W

Passo 3

Se acalmem!! Ainda não acabamos, precisamos achar o erro quando desconsideramos as áreas e os cantos:

Q T o t a l ˙ = Q p a r e d e s + t e t o ˙ = k A p a r e d e s + t e t o L ( T i n t - T e x t )

A única coisa que vai variar aqui será a área, né?

A p a r e d e s + t e t o = 12   m 12   m + 4 12   m 6   m

A p a r e d e s + t e t o = 432   m 2

Agora sim, basta nós substituirmos na fórmula:

Q p a r e d e s + t e t o ˙ = 0,75 W m   ·   K × 432   m 2 0,2   m ( 15 ° C - 3 ° C )

Q p a r e d e s + t e t o ˙ = 1,94 × 10 4   W

Então:

Q t o t a l ˙ = 1 9 , 4   k W

Mas queremos o erro, certo?

Então é só nós calcularmos a diferença entre eles e dividir pelo primeiro valor que encontramos:

ε = 19,4   k W - 18,4   k W 18,4   k W × 100

ε = 5,43 %

Legal, né?

Se desconsiderarmos as arestas e os cantos nós cometeremos um erro de 5,43% nos cálculos !!

Finalizamos mais umaa!!

Resposta

Q t o t a l ˙ = 18,4   k W

ε = 5,43 %

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