Enunciado

Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno prescritas. Usando os resultados da solução exata para a equação do calor apresentada na Seção 4.2, calcule as temperaturas ao longo do plano médio da placa ( x = 1   m ) em y = 0,25 , 0,5 e 0,75   m considerando os primeiros cinco termos diferentes de zero da série infinita. Avalie o erro resultante do uso apenas dos três primeiros termos da série infinita.

Passo 1

Fala Pessoal!! Vem comigo fazer mais uma questão!!

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condução em estado estacionário bidimensional.

(2) Propriedades constantes.

Passo 2

Da Seção 4.2, a distribuição da temperatura é

θ x , y = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π x L senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Passo 3

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 25 ) e, portanto, x / L = 1 / 2 , y / L = 1 / 8 e W / L = 1 / 2 , temos o seguinte:

T - 50 ℃ 150 ℃ - 50 ℃ = 2 π ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π 2 senh ⁡ n π / 8 senh ⁡ n π / 2

Podemos perceber que quando n é um numero par ( 2 ,   4 ,   6   . . .   ) , o termo

sen ⁡ n π 2 = 0

Logo, os primeiro 5 termos não nulos serão quando n = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 . Substituindo, temos:

T - 50 ℃ 1 0 0 ℃ = 2 π 2 1 sen ⁡ π 2 senh ⁡ π / 8 senh ⁡ π / 2 + 2 3 sen ⁡ 3 π 2 senh ⁡ 3 π / 8 senh ⁡ 3 π / 2 + 2 5 sen ⁡ 5 π 2 senh ⁡ 5 π / 8 senh ⁡ 5 π / 2 + 2 7 sen ⁡ 7 π 2 senh ⁡ 7 π / 8 senh ⁡ 7 π / 2 + 2 9 sen ⁡ 9 π 2 senh ⁡ 9 π / 8 senh ⁡ 9 π / 2

T - 50 ℃ 100 ℃ = 2 π 0,35012 - 0,01761 + 0,00108 - 0,00007 + 0,00000

T = 2 π 0,33353 100 ℃ + 50 ℃

T = 71,23 ℃

Portanto a temperatura em x ,   y = ( 1 ,     0 , 25 ) é 71,23 ℃ .

Passo 4

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 5 ) e, portanto, x / L = 1 / 2 , y / L = 1 / 4 e W / L = 1 / 2 , temos o seguinte:

T - 50 ℃ 150 ℃ - 50 ℃ = 2 π ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π 2 senh ⁡ n π / 4 senh ⁡ n π / 2

Podemos perceber que quando n é um numero par ( 2 ,   4 ,   6   . . .   ) , o termo

sen ⁡ n π 2 = 0

Logo, os primeiro 5 termos não nulos serão quando n = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 . Substituindo, temos:

T - 50 ℃ 100 ℃ = 2 π 2 1 sen ⁡ π 2 senh ⁡ π / 4 senh ⁡ π / 2 + 2 3 sen ⁡ 3 π 2 senh ⁡ 3 π / 4 senh ⁡ 3 π / 2 + 2 5 sen ⁡ 5 π 2 senh ⁡ 5 π / 4 senh ⁡ 5 π / 2 + 2 7 sen ⁡ 7 π 2 senh ⁡ 7 π / 4 senh ⁡ 7 π / 2 + 2 9 sen ⁡ 9 π 2 senh ⁡ 9 π / 4 senh ⁡ 9 π / 2

T - 50 ℃ 100 ℃ = 2 π 0 , 75494 - 0,0 6262 + 0,00 788 - 0,00 117 + 0,0000 2

T = 2 π 0 , 69921 100 ℃ + 50 ℃

T = 94,51 ℃

Portanto a temperatura em x ,   y = ( 1 ,     0 , 5 ) é 94,51 ℃ .

Passo 5

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 7 5 ) e, portanto, x / L = 1 / 2 , y / L = 3 / 8 e W / L = 1 / 2 , temos o seguinte:

T - 50 ℃ 150 ℃ - 50 ℃ = 2 π ∑ n = 1 θ - 1 n + 1 + 1 n sen ⁡ n π 2 senh ⁡ n π 3 / 8 senh ⁡ n π / 2

Podemos perceber que quando n é um numero par ( 2 ,   4 ,   6   . . .   ) , o termo

sen ⁡ n π 2 = 0

Logo, os primeiro 5 termos não nulos serão quando n = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 . Substituindo, temos:

T - 50 ℃ 100 ℃ = 2 π 2 1 sen ⁡ π 2 senh ⁡ π 3 / 8 senh ⁡ π / 2 + 2 3 sen ⁡ 3 π 2 senh ⁡ 9 π / 8 senh ⁡ 3 π / 2 + 2 5 sen ⁡ 5 π 2 senh ⁡ 1 5 π / 8 senh ⁡ 5 π / 2 + 2 7 sen ⁡ 7 π 2 senh ⁡ 21 π / 8 senh ⁡ 7 π / 2 + 2 9 sen ⁡ 9 π 2 senh ⁡ 27 π / 8 senh ⁡ 9 π / 2

T - 50 ℃ 100 ℃ = 2 π 1,27768 - 0 , 20508 + 0,0 5614 - 0,0 1828 + 0,00 648

T = 2 π 1,11694 100 ℃ + 50 ℃

T = 121,11 ℃

Portanto a temperatura em x ,   y = ( 1 ,     0 , 7 5 ) é 121,11 ℃ .

Passo 6

Usando uma HP, se usarmos apenas os 3 primeiros termos do somatório, vamos encontrar as seguintes temperaturas:

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 25 )

T = 71,23 ℃

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 5 )

T = 94,58 ℃

Considerando agora o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 75 )

T = 121,86 ℃

Podemos perceber que utilizando apenas 3 termos não nulos vamos encontrar valores muito próximos.

Resposta

Para o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 25 )

T = 71,23 ℃

Para o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 5 )

T = 94,51 ℃

Para o ponto x ,   y = ( 1 ,     0 , 75 )

T = 121,11 ℃

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