Enunciado

Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga (a) dobrará, (b) triplicará, (c) quadruplicará, (d) aumentará por um fator de 8 ou (e) aumentará por um fator de 16 .

Passo 1

A questão quer saber o que a contece com a perda de carga h L de um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular, quando o diâmetro D do tubo for reduzido pela metade. Para entender o que acontece, nós precisamos lembrar da fórmula de perda de carga h L em função do diâmetro D (equação 8-24 do livro).

h L = f ⋅ L D ⋅ V m é d 2 2 ⋅ g

onde f é o fator de atrito, V m é d é a velocidade média do fluido no tubo, L é o comprimento do tubo e g é a aceleração da gravidade.

Cuidado! A fórmula acima pode te fazer acreditar que se a gente dobrar o diâmetro, a perda de carga será dividida por dois. No entanto, isso não é verdade, porque f e V m é d dependem de D ! No próximo passo veremos como esses termos dependem do diâmetro D .

Passo 2

O fator de atrito f de um escoamento laminar completamente desenvolvido pode ser calculado pela equação 8-23 do livro.

f = 64 R e       ⟹       f = 64 ⋅ μ ρ ⋅ V m é d ⋅ D

onde R e é o número de Reynolds, ρ é a densidade do fluido e μ é a viscosidade do fluido.

Além disso, a velocidade média do escoamento V m é d pode ser calculada em função da vazão volumétrica constante V ˙ e da área da seção transversal do tubo circular A = π ⋅ D 2 4 .

V m é d = V ˙ A       ⟹       V m é d = 4 ⋅ V ˙ π ⋅ D 2

Substituindo essa expressão no fórmula do fator de atrito, encontramos:

f = 64 ⋅ μ ρ ⋅ V m é d ⋅ D       ⟹       f = 64 ⋅ μ ρ ⋅ 4 ⋅ V ˙ π ⋅ D 2 ⋅ D     ⟹     f = 16 ⋅ π ⋅ μ ⋅ D ρ ⋅ V ˙

Substituindo esses dois termos na fórmula da perda de carga h L , achamos:

h L = f ⋅ L D ⋅ V m é d 2 2 ⋅ g     ⟹     h L = 16 ⋅ π ⋅ μ ⋅ D ρ ⋅ V ˙ ⋅ L D ⋅ 4 ⋅ V ˙ π ⋅ D 2 2 2 ⋅ g

h L = 128 ⋅ μ ⋅ L ⋅ V ˙ π ⋅ ρ ⋅ g ⋅ D 4

Passo 3

Com essa fórmula final de h L , descobrimos que h L é inversamente proporcional a D 4 . Isso quer dizer que se o diâmetro for reduzido pela metade (dividido por 2), h L é multiplicado por 2 4 = 16 . Ou seja, a nova perda de carga (com metade do diâmetro do tubo) é 16 vezes maior que a perda de carga do tubo sem redução no diâmetro. Logo, a opção (e) é a opção correta!

Resposta

Opção (e)

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