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O seu professor favorito pratica alpinismo, portanto, há sempre a possibilidade de que ele caia em uma fenda de alguma geleira. Se isto acontecesse hoje, e o professor ficasse preso em uma geleira de movimento lento, talvez você ficasse curioso em saber se ele reapareceria a jusante, no ponto de deságue da geleira, ainda durante o ano letivo. Considerando que o gelo seja um fluido newtoniano com a massa específica da glicerina, porém um milhão de vezes mais viscoso, você decide construir um modelo e utilizar análise dimensional e semelhança para estimar após quanto tempo o azarado professor reapareceria. Considere que a geleira real tenha 15 m de profundidade e encontre-se em uma encosta que cai 1,5 m em uma distância horizontal de 1850 m. Desenvolva os parâmetros adimensionais e as condições esperadas para governar a semelhança dinâmica neste problema. Se o modelo do professor reaparecer nolaboratório após 9,6 horas, quando é que você deveria retornar ao sopé da geleira real para oferecer auxílio a seu professor favorito?

Passo 1

Neste problema serão desenvolvidos parâmetros adimensionais para retratar o movimento de uma geleira e obtido o tempo no protótipo (geleira) para reaparecimento do professor. Para isso será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Como parâmetros conhecidos têm:

- gelo com massa específica da glicerina;

- gelo com viscosidade 1 (um) milhão de vezes a da glicerina: μ p = 10 6 × μ m ;

- profundidade da geleira: P = 15   m ;

- encosta com a seguinte inclinação: altura H = 1,5   m e comprimento L = 1850   m ;

- tempo no modelo: t m = 9,6   h ;

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais importantes para o problema: velocidade da geleira ( V ), massa específica ( ρ ), viscosidade ( μ ), aceleração da gravidade ( g ), profundidade da geleira ( P ), altura da encosta ( H ) e comprimento daencosta ( L ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 7

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- V = L t

- ρ = M L 3

- μ = M L ∙ t

- g = L t 2

- P = L

- H = L

- L = L

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste prolema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , g e P , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 7 - 3 = 4   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = V ∙ ρ a ∙ g b ∙ P c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L t ∙ M L 3 a ∙ L t 2 b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 1 - 2 b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1 2

c = - 1 2

Logo:

π 1 = V ∙ ρ 0 ∙ g - 1 2 ∙ P - 1 2

De forma que π 1 vale:

π 1 = V g P

- π 2

π 2 = μ ∙ ρ a ∙ g b ∙ P c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L ∙ t ∙ M L 3 a ∙ L t 2 b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :   - 1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 1 - 2 b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 1 2

c = - 3 2

Logo:

π 2 = μ ∙ ρ - 1 ∙ g - 1 2 ∙ P - 3 2

De forma que π 2 vale:

π 2 = μ ρ g P 3

- π 3

π 3 = H ∙ ρ a ∙ g b ∙ P c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L ∙ M L 3 a ∙ L t 2 b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :   1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 2 b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = 0

c = - 1

Logo:

π 3 = H ∙ ρ 0 ∙ g 0 ∙ P - 1

De forma que π 3 vale:

π 3 = H P

- π 4

π 4 = L ∙ ρ a ∙ g b ∙ P c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L ∙ M L 3 a ∙ L t 2 b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :   1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 2 b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = 0

c = - 1

Logo:

π 4 = L ∙ ρ 0 ∙ g 0 ∙ P - 1

De forma que π 4 vale:

π 4 = L P

Passo 7

Para alcançar a semelhança dinâmica é necessário garantir a semelhança geométrica e cinética. Havendo semelhança dinâmica pode ser realizada a semelhança dos adimensionais obtidos no Passo 6.

Utilizando o π 2 é possível realizar sua semelhança dinâmica para definir o deslocamento do modelo:

π 2 m = π 2 p

μ m ρ m g P m 3 = μ p ρ p g P p 3

P m 3 2 P p 3 2 = μ m μ p ρ m ρ p

Logo:

P m P p = μ m μ p ρ p ρ m 2 3

A partir das Tabelas A.1 e A.2 são conhecidas as massas específicas do gelo ( ρ p ) e glicerina ( ρ m ):

ρ p = ρ g e l o = 920   k g / m 3

ρ m = ρ g l i c e r i n a = 1260   k g / m 3

E sabendo que μ p = 10 6 × μ m , a relação entre profundidade terá o valor de:

P m P p = μ m μ p ρ p ρ m 2 3 = μ m 10 6 × μ m 920 1260 2 3

P m P p = 8,11 × 10 - 5

Passo 8

O adimensional π 1 fornece a relação entre velocidade e profundidade do gelo, então aplicando a semelhança dinâmica do adimensional π 1 :

π 1 m = π 1 p

V m g P m = V p g P p

Então a relação entre as velocidades será definida em função da relação de profundidades, já obtida no Passo 8, da seguinte forma:

V m V p = P m P p = 8,11 × 10 - 5

Logo:

V m V p = 9 × 10 - 3

Passo 9

Para obter o tempo do protótipo será necessário o uso de uma equação que tenha tal parâmetro. Sabe-se que a velocidade de escorregamento do gelo tem o parâmetro tempo, então fazendo a semelhança do tempo a partir da definição de velocidade:

V = L t

t = L V

Logo:

t m = t p

t p = L p V p

O parâmetro t p pode ser escrito para surgir os parâmetros definidos e calculados nos Passos 7 e 8:

t p = V m V p ⏟ c o n h e c i d o × L m ⏞ c o n h e c i d o V m ⏟ r e e s c r e v e r × L p L m ⏞ c o n h e c i d o = L p V p

O termo V m pode ser escrito como:

V m = L m t m

De forma que o parâmetro t p pode ser reescrito como:

t p = V m V p × L m L m t m × L p L m = V m V p × t m × L p L m

Utilizando os parâmetros conhecidos e calculados:

t p = 9 × 10 - 3 × ( 9,6 ) × 1 8,11 × 10 - 5

Note que P m / P p representa a escala linear do problema, logo pode-se afirmar que:

L m L p = 8,11 × 10 - 5

Então, o professor reapareceria a jusante da geleira depois de:

t p = 1.065 ,   35   h

Ou ainda:

t p = 44,4   d i a s

Resposta

t p = 44,4   d i a s

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