Enunciado

58 – Considere uma extensa parede plana de espessura L = 0,4   m , condutividade térmica k = 1,8 W m ⋅ K e área da superfície A = 30   m 2 . O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante T 1 = 90   ℃ , enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a T ∞ = 25   ℃ com coeficiente de transferência de calor h = 24 W m 2 ⋅ K . Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, (b) obtenha a expressão para a variação da temperatura de temperatura na parede resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a taxa de transferência de calor através da parede.

Passo 1

Escreva a equação para a condução em estado estacionário unidimensional sem geração interna de calor.

d 2 T d x 2 = 0 … … … . ( 1 )

No lado esquerdo da parede, a temperatura é mantida constante.

Com  x = 0 temos que a temperatura de superfície é,

T 1 = 90   ℃

No final da parede, a quantidade de condução de calor na parede é igual à quantidade de convecção de calor.

q c o n d = q c o n v

- k   d T d x x = L = h T x = L - T ∞

Aqui,  k  é a condutividade térmica da parede,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  T ∞ é a temperatura ambiente.

Portanto, a equação diferencial geral de condução de calor é 

d 2 T d x 2 = 0

e as duas condições de limite são 

T 1 = 90   ℃

- k   d T d x x = L = h T x = L - T ∞

Passo 2

b) Integrar a equação diferencial em relação a  x , temos:

d T d x = C 1

Integrando novamente:

T x = C 1 x + C 2

Onde  C 1 C 2 são constantes arbitrárias.

 A aplicação das condições de contorno fornece fluxo de calor em  x = 0 .

- k C 1 = q ˙ 0

C 1 = - q ˙ 0 k

Temperatura a x = 0 :

T 0 = C 1 × 0 + C 2 = T 1

C 2 = T 1

Aplique a segunda condição de contorno,

- k   d T d x x = L = h T x = L - T ∞

- k C 1 = h C 1 L + C 2 - T ∞

- k C 1 = h C 1 L + T 1 - T ∞

- k C 1 = h C 1 L + h T 1 - h T ∞

h C 1 L + k C 1 = h T ∞ - h T 1

C 1 = h T ∞ - h T 1 k + h L

Passo 3

Substitua T 1 por C 1 e h T ∞ - h T 1 k + h L para C 2 na equação (1).

T x = C 1 x + C 2

T x = h T ∞ - h T 1 k + h L x + T 1

Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado, temos:

T x = 24 ( 25 - 90 ) 1,8 + 24 × 0,4 x + 90

T x = 90 - 136,842 x

Portanto, a distribuição de temperatura na parede é  T x = 90 - 136,842 x

Passo 4

  1. Encontre a taxa de condução de calor através da parede usando a seguinte equação:

Q ˙ = - k A d T d x

= - k A C 1

= k A h ( T 1 - T ∞ ) k + h L

Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado:

Q ˙ = 1,8 × 30 × 24 ( 90 - 25 ) 1,8 + 24 × 0,4

Q ˙ = 7389,47   W

Portanto, a taxa de transferência de calor através da parede é  7389,47   W

Resposta

  1. a equação diferencial geral de condução de calor é 
  2. d 2 T d x 2 = 0

    e as duas condições de limite são 

    T 1 = 90   ℃

    - k   d T d x x = L = h T x = L - T ∞

  3. T x = 90 - 136,842 x
  4. Q ˙ = 7389,47   W
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