Enunciado

49 – Uma esfera metálica de raio r 0 é aquecida em um forno a uma temperatura T i , retirada e colocada para resfriar a uma temperatura ambiente T ∞ por convecção e radiação. A emissividade da superfície externa da esfera é ε , e a temperatura das superfícies ao redor é T c i r . O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é h . Considerando uma condutividade térmica constante e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Passo 1

Assumindo que a condutividade térmica é variável, com transferência de calor unidimensional, transitória e sem geração interna de calor, temos a equação de condução de calor com coordenadas esféricas, da seguinte forma:

1 r 2 ∂ ∂ r   k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

Como a temperatura dentro da bola muda com a distância radial r e o tempo t, temos a temperatura é uma função de  T = T ( r , t ) .

Quando a bola é removida do forno em  t = 0 , a condição inicial pode ser expressa como

T r , 0 = T

Passo 2

O problema possui simetria sobre o ponto médio, pois as isotermas, neste caso, são esferas concêntricas e, portanto, nenhum calor está cruzando o ponto médio da bola. Então a condição de contorno no ponto médio pode ser expressa como

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

O calor conduzido para a superfície externa da bola é perdido no ar ambiente por convecção e radiação. Então a condição de contorno na superfície externa pode ser expressa como

- k d T r 0 , t d r = h T r 0 - T ∞ + ε σ T r 0 4 - T ∞ 4

Escreva a expressão aplicando a lei de condução de calor de Fourier, a lei de resfriamento de Newton e a lei de Stefan Boltzmann.

Transformando a expressão para esta condução de calor em coordenadas esféricas, temos:

1 r 2 ∂ ∂ r   k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

A condição de contorno e as condições iniciais serão

T r , 0 = T

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

1 r 2 ∂ ∂ r   k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

Resposta

A condição de contorno e as condições iniciais serão

T r , 0 = T

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

1 r 2 ∂ ∂ r   k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

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