Enunciado

56 – Considere uma extensa parede plana de espessura L=0,3 m, condutividade térmica k=2,5Wm⋅K e área da superfície A=12 m2. O lado esquerdo da parede em x=0 está sujeito a um fluxo de calor líquido de q0=700 W/m2, e sua temperatura é T1=80 ℃. Considerando que a condutividade térmica é constante e não há geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, (b) obtenha a relação para a variação de temperatura na parede resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura na superfície direta da parede em x=L.

Passo 1

Fala aí! Precisamos responder essas três letrinhas aí! Para isso, vamos começar anotando os dados que o enunciado nos deu, ok?

A parede plana é submetida a um fluxo de calor líquido de:  q 0 ˙ = 700   W / m 2

A condutividade térmica da parede é: k = 2,5 W m . K  

Parede plana de espessura:  L = 0,3   m

Área de superfície é:  A = 12   m 2

A temperatura na superfície é: T 1 = 80   ℃

Beleza! Agora partiu continhas!

Passo 2

Começando pela letra a, precisamos expressar a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.

Vamos começar tomando a direção normal da superfície da parede para a direção  x  com

x = 0 na superfície esquerda, então a equação diferencial deste problema pode ser expressa como:

d 2 T d x 2 = 0

E as condições de contorno, serão:

- k d T 0 d x = q 0 ˙ = 700   W / m 2

T 0 = T 1 = 80 ° C

Passo 3

Agora vamos resolver a letra b! Ela quer a relação para a variação de temperatura na parede resolvendo a equação da letra a, vamos nessa!

Bom, sabemos que:

d 2 T d x 2 = 0

Integrando a equação diferencial uma vez, em relação a x , vamos ter que:

∫ d 2 T d x 2 = C 1

Então ficamos com:

d T d x = C 1

Integrando pela segunda vez, em relação a x, temos:

∫ d T d x = ∫ C 1

Ficamos então, com:

T x = C 1 x + C 2

Onde  C 1 C 2 são constantes arbitrárias, que precisamos descobrir quem são… Para isso, vamos aplicar as condições de contorno, lá do item a, vamos ter que em  x = 0 :

- k . d T 0 d x = q 0 ˙

Ficamos com:

- k . C 1 = q 0 ˙

Logo:

C 1 = - q 0 ˙ . k

E usando a temperatura em x = 0 :

T 0 = C 1 . 0 + C 2 = T 1

Teremos então, que:

C 2 = T 1

Agora substituindo C 1 C 2 na solução geral, a variação de temperatura será:

T x = - q 0 ˙ k x + T 1

Substituindo os dados que temos, ficamos com:

T x = - 700 2,5 x + 80 ° C

Temos então que:

T x = - 280 x + 80

Passo 4

Agora pra fechar, vamos fazer a letra c…  Precisamos avaliar a temperatura em x = L , ok?

Então, pela relação que vimos na letra b:

T L = - 280 . L + 80

E como o enunciado nos deu que  L = 0,3   m , ficamos com:

T 0,3 = - 280 . 0,3 + 80

Logo, teremos que:

T 0,3 = - 4 ° C

Portanto, a temperatura da superfície direita da parede é de - 4 ° C .

Resposta

  1. Equação diferencial:
  2. d 2 T d x 2 = 0

                  E as condições de contorno:

    - k d T 0 d x = q 0 ˙ = 700   W / m 2

    T 0 = T 1 = 80 ° C

  3. T x = - 280 x + 80

  4. A temperatura da superfície direita da parede é de - 4 ° C .
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