Enunciado

64 – Considere um tubo de comprimento L , raio interno r 1 , raio externo r 2 e condutividade térmica k por onde passa água refrigerada. A água flui pelo tubo a uma temperatura T f e o coeficiente de transferência de calor na superfície interna é h . Considerando que o tubo é bem isolado na superfície externa, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através do tubo e (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial.

Passo 1

Aqui,  r 1 está o raio interno do tubo e  r 2 o raio externo do tubo.

Passo 2

a)

Como a transferência de calor por condução é igual à transferência de calor por convecção.

Portanto,

- k d T d r r = r 1 = h   T f - T r 1

d T d r r = r 1 = - h   T f - T r 1 k

Aqui,  k  é a condutividade térmica,  d T d r   é o gradiente de temperatura em relação ao raio do tubo,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  T f é a temperatura da água e  T r 1   é a temperatura do tubo no raio considerado.

Escreva a equação unidimensional de condução de calor em estado estacionário sem geração interna de calor para as coordenadas cilíndricas,

d d r r d T d r = 0

Integre com relação ao r .

∫ 0 r d d r r d T d r = 0

r d T d r = C 1 … … … ( 2 )

d T d r = C 1 r

Aqui C 1 está a constante arbitrária.

Novamente, integre a equação acima em relação a  r .

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2 … … . .   ( 3 )

Aqui C 2 está a constante de integração.

Passo 3

Aplique condições de contorno, pois a superfície externa é isolada, a taxa de transferência de calor será zero a partir da superfície externa.

No  r = r 2 d T d r r = r 2 = 0

Substitua  r 2 por 0 a equação (2).

0 = C 1 r 2

C 1 = 0

Substitua isso na equação (2).

d T r d r = 0

Porque em r 2 existe um bom isolamento que leva a transferência de calor para zero.

Portanto, a equação diferencial para a condução de calor unidimensional através do tubo é  d T r 2 d r = 0 .

Passo 4

b) Integre a equação (2) em relação a  r .

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

Aqui  C 2 é a constante de integração.

Substitua 0 por  C 1 .

T r = C 2 … … … ( 3 )

Na superfície interna r = r 1 , a temperatura é T r 1 .

T r 1 = C 2 … … ( 4 )

Aplique a condição de contorno na superfície interna.

Substituo  r 1 por  R , 0 em  C 1 d T d r r = r 1 para d T r d r a equação (2).

  d T d r r = r 1 = 0 r 1

  d T d r r = r 1 = 0

Substitua   d T d r r = r 1   = 0   na equação (1).

0 = - h   T f - T r 1 k

h T f - T r 1 = 0

T r 1 = T f

Pela equação (3), (4) e (5).

T r = T f

Portanto, a relação para a variação de temperatura no tubo é  T r = T f

Resposta

a)   d T r 2 d r = 0 .

E as condições de contorno são:

- k d T d r r = r 1 = h   T f - T r 1

d T d r r = r 1 = 0

b) T r = T f

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