Enunciado

Desenvolva a equação da difusão térmica, Equação 2.24, em coordenadas cilíndricas, a partir do volume de controle diferencial mostrado na Figura 2.12.

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

Vamos considerar um volume de controle diferencial como mostra a figura a seguir

Passo 2

Vamos aplicar o balanço de energia ao sistema

E ˙ i n + E ˙ g - E ˙ o u t = E ˙ s t

Onde, a entrada de energia é E ˙ i n

A saída de energia é E ˙ o u t

A taxa de geração de energia térmica é E ˙ g

E a taxa de armazenamento de energia é E ˙ s t

Considerando a expressão para o fluxo de calor, teremos

E ˙ i n = q r + q ϕ + q z

Onde, as taxas de calor por condução na direção r ,   ϕ   e   z da face de entrada do elemento são q r ,   q ϕ   e   q z respectivamente.

Para a saída de calor, teremos a seguinte expressão

E ˙ o u t = q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z

Onde, as taxas de calor por condução na direção r ,   ϕ   e   z da face de entrada do elemento são q r + d r ,   q ϕ + d ϕ   e   q z + d z respectivamente.

Passo 3

Vamos considerar a expressão para a taxa de geração de energia térmica

E ˙ g e n = q d V

Considerando a expressão para o armazenamento de energia

ρ c p ∂ T d t d V

Agora vamos substituir as expressões que encontramos no passo 2, show?

q r + q ϕ + q z + q ˙ d V - q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = ρ c p ∂ T d t d V

Passo 4

Agora iremos escrever a taxa de calor por condução na direção de r em um material isotrópico pela lei de Fourier

q r = - k d A r ∂ T ∂ r

= - k r d ϕ d z ∂ T ∂ r

Onde a área da face na direção de r é d A r e o comprimento do volume elementar nas direções ϕ   e   z , são d ϕ   e   d z .

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção ϕ , em um material isotrópico pela lei de Fourier

q ϕ = - k d A ϕ ∂ T ∂ r d ϕ

= - k d r d z r ∂ T ∂ ϕ

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção de z em um material isotrópico pela lei de Fourier

q z = - k d A z   ∂ T ∂ z

= - k d r r d ϕ ∂ T ∂ z

Onde, a área da face na direção de z é d A z .

Passo 5

Vamos escrever a expressão para o volume do elemento diferencial

d V = r d ϕ d r d z

Usaremos a expansão da série de Taylor na expressão a seguir, e desprezaremos os termos superiores.

E ˙ o u t = q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z

q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = q r + ∂ q ∂ r d r + q ϕ + ∂ q ∂ ϕ d ϕ + q z + ∂ q ∂ z d z

Manipulando essa outra expressão, teremos

q r + q ϕ + q z + q ˙ d V - q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = ρ c p ∂ T d t d V

- ∂ q r ∂ r d r - ∂ q ϕ ∂ ϕ d ϕ - ∂ q z ∂ z d z + q ˙ r d ϕ d r d z

= ρ c p ∂ T ∂ r   r d ϕ d r d z

Passo 6

Vamos diferenciar as seguintes equações, para obter as derivadas do fluxo de calor em diferentes direções.

- k r d ϕ d z ∂ T ∂ r

- k r d ϕ d z ∂ T ∂ r

- k d r r d ϕ ∂ T ∂ z

Diferenciando

- ∂ q r d r = - ∂ ∂ r - k r d ϕ d z ∂ T ∂ r

= d ϕ d z ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r  

- ∂ q ϕ d ϕ = - ∂ ∂ ϕ - k d r d z r ∂ T ∂ ϕ

= d r d z r ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ  

- ∂ q z ∂ z = - ∂ ∂ z - k d r r d ϕ ∂ T ∂ z

= r d r d ϕ ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z  

Passo 7

Agora pra finalizar o exercício iremos substituir essas 3 equações diferenciadas que encontramos na seguinte fórmula

= ρ c p ∂ T ∂ r   r d ϕ d r d z

Logo, vamos dividir essa expressão por r d ϕ d r d z

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + 1 r 2 ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Sendo assim, a equação de difusão de calor com geração de calor em coordenadas cilíndricas foi derivada.

“OK, isso foi legal.”

Resposta

Resposta nos passos.

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