Enunciado

Considere o tubo e a barreira de radiação do Problema 13.49, mas agora leve em consideração a convecção natural no espaço entre o tubo e a barreira, assim como o fato de que a temperatura da barreira não possa ser arbitrariamente especificada, dependendo na realidade da natureza da vizinhança. Se a barreira de radiação estiver exposta ao ar ambiente quiescente e a uma grande vizinhança, os dois a uma temperatura de 20°C, qual será a temperatura da barreira? Qual será a taxa de perda de calor no tubo por unidade de comprimento?

Passo 1

Animados para seguir que eu sei, não é?

Com galerinha, o problema nos disse que ocorre fluxo radiante e convecção na parte interna e externa:

q r a d , i + q c o n v , i = q r a d , e + q c o n v , e

Vamos substituir?

σ π D i T i 4 - T e 4 1 ε i   + 1 - ε e ε e r i r e + 2 π k e f f T i - T e ln ⁡ r e r i = σ π D e ε e T e 4 - T ∞ 4 + π D e h e T e - T ∞

Vamos ver o que temos?

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K

D i = 0,10   m

D e = 0,12   m

ε i = 0,8

ε e = 0,1

T i =   120 ° C + 273 = 393   K  

T ∞ = 20 ° + 273 = 2 93   K  

O fluxo radiante nós já conseguimos achar:

q r a d , i = π 5,67 × 10 - 8 0,1 393 4 - T e 4 1 0,8   + 1 - 0,1 0,1 0,05 0,06 = 5,67 × 10 - 8 393 4 - T e 4

q r a d , e = π 5,67 × 10 - 8 0,12 0,1 T e 4 - 293 4 = 2,137 T e 4 - 293 4

Agora vamos seguir !!

Passo 2

O calor convectivo é dado por:

q c o n v , i = 2 π k e f f T i - T e ln ⁡ r e r i

Sabendo que:

k e f f = 0,386 k   P r 0,861 + P r 1 4 R a c 1 4

Vamos lembrar também que:

R a c = g β T i - T e L c 3 v α

L c = 2 ln ⁡ r e r i 4 3 r i - 3 5 + r e - 3 5 5 3

Olhando na Tabela A – 4 para achar as propriedades do ar a uma temperatura de 393   K :

v = 22,3 × 10 - 6 m 2 s

α = 32 × 10 - 6 m 2 s

k = 0,03 1 W m K

β = 1 393

P r = 0 , 698

Substituindo:

L c = 2 ln ⁡ 0,06 0,05 4 3 0,05 - 3 5 + 0,06 - 3 5 5 3 = 0,0036   m

R a c = 9,81 1 3 93 393 - T e 0,0036 3 3 2 × 10 - 6 ( 2 2 , 3 × 10 - 6 ) = 1 , 709 393 - T e

k e f f = 0,386 0,03 1 0 , 698 0,861 + 0 , 98 1 4 1,709 393 - T e 1 4 = 0,01119 393 - T e 1 4

Substituímos:

q c o n v , i = 0,3857 393 - T e 393 - T e 1 4

Passo 3

Agora só falta o calor convectivo externo:

q c o n v , e = π D e h e T e - T ∞

Para achar o coeficiente convectivo vamos lembrar da fórmula:

h e = k D e 0 , 6 + 0,387 R a D , e 1 6 1 + 0 , 559 P r 9 16 8 27 2

Onde:

R a L = g β T e - T ∞ D e 2 v e a e

Então:

h e = k D e 0,6 + 0,387 g β T e - T ∞ D e 2 v e a e 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

Olhando na Tabela A – 4 para achar as propriedades do ar a uma temperatura de 3 1 3   K :

v = 17,2 × 10 - 6 m 2 s

α = 24,4 × 10 - 6 m 2 s

k = 0,0 27 W m K

β = 1 3 1 3

P r = 0 , 705

Substituindo:

h e = 0,027 0,12 0,6 + 0,387 9,81 1 313 T e - 293 0,12 2 17,2 × 10 - 6 24,4 × 10 - 6 1 6 1 + 0,559 0,705 9 16 8 27 2 = 0,00225 0,6 + 2,283 T e - 293 1 6 2

No calor convectivo:

q c o n v , e = π 0,12 0,00225 0,6 + 2,283 T e - 293 1 6 2 T e - 293

q c o n v , e = 0,000848 0,6 + 2,283 T e - 293 1 6 2 T e - 293

Colocando no balanço de energia:

0,3857 393 - T e 393 - T e 1 4 + 5,67 × 10 - 8 393 4 - T e 4 = 2,137 T e 4 - 293 4 + 0,000848 0,6 + 2,283 T e - 293 1 6 2 T e - 293

Usando um software:

T e = 332,5   K

E para achar o fluxo de calor basta nós substituirmos esta temperatura em um lado da igualdade:

q = 0,3857 393 - 332,5   393 - 332,5   1 4 + 5,67 × 10 - 8 393 4 - 332,5 4

q = 88,7 W m

Ufaaa !! Chegamos ao fim de mais umaaa !!

Resposta

T e = 332,5   K

q = 88,7 W m

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