Enunciado

68 – Um contêiner esférico de raio interno r 1 = 2   m , raio externo r 2 = 2,1   m e condutividade térmica k = 30 W m ⋅ K é preenchido com água fria a 0   ℃ . C contêiner ganha calor por convecção do ar redor a uma temperatura T ∞ = 25   ℃ , com coeficiente de transferência de calor h = 18 W m 2 ⋅ K . Considerando que a temperatura da superfície interna do contêiner é de 0   ℃ , (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através do contêiner, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura do contêiner resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a taxa de ganho de calor da água fria.

Passo 1

Desenhe a configuração do sistema fornecido.

Passo 2

Escreva a equação de condução de calor para o estado estacionário unidimensional, sem geração interna de calor para coordenadas esféricas.

d d r r 2 d T d r = 0

Aplique a primeira condição de limite.

Como o sistema é estável, o fluxo de calor conduzido para a superfície externa do recipiente é igual à transferência do fluxo de calor por convecção da superfície externa para o ambiente.

q ˙ c o n d = q ˙ c o n v

Aqui,  q ˙ c o n d   é o fluxo de calor de condução,  q ˙ c o n v   é o fluxo de calor convectivo.

Substitua  q ˙ c o n d por - k d T ( r 2 ) d r e q ˙ c o n v por h [ T r 2 - T ∞ ] .

- k d T r 2 d r = h [ T r 2 - T ∞ ]

Aqui, a condutividade térmica do recipiente é k , o coeficiente de transferência de calor é  h , a temperatura do ar circundante é  T ∞ T ( r 2 ) é a temperatura da superfície do recipiente no raio  r 2 .

Aplique a segunda condição de limite.

A temperatura na superfície interna do recipiente é zero.

T r 1 = T 1 = 0   ℃

Passo 3

b)

Considere a equação geral de condução de calor para o estado estacionário unidimensional, sem geração interna de calor,

∫ d d r   r 2 d T d e = ∫ 0

r 2 d T d r = C 1

Aqui C 1 é a constante de integração.

Reorganizando a expressão, temos:

d T d r = C 1 r 2

Integre a equação acima para obter o perfil de temperatura.

T r = - C 1 r + C 2

Aqui C 1 e C 2 são constantes de integração.

Vamos encontrar os valores das constantes por meio das condições de contorno.

No raio r = r 1

T r 1 = T 1 = - C 1 r 1 + C 2

T 1 = - C 1 r 1 + C 2

C 2 = T 1 + C 1 r 1 … … … .   ( 1 )

No raio r = r 2

T r 2 = - C 1 r 2 + C 2

d T r 2 d r = d d r - C 1 r 2 + C 2

d T r 2 d r = C 1 r 2 2 … . .   … . .   ( 2 )

Passo 4

Como,

k d T r 2 d r = h [ T r 2 - T ∞ ]

Substitua d T r 2 d r por C 1 r 2 2 e T r 2   p o r - C 1 r 2 + C 2

- k C 1 r 2 2 = h - C 1 r 2 + C 2 - T ∞ … … .   ( 3 )

Substitua o valor de  C 2 da equação (1) na equação (3).

T 1 + C 1 r 1

- k h C 1 r 2 2 = - C 1 r 2 + T 1 + C 1 r 1 - T ∞

C 1 1 r 2 - 1 r 1 - k h r 2 2 = T 1 - T ∞

Reorganize a expressão para obter o valor de  C 1 .

C 1 r 2 1 - r 2 r 1 - k h r 2 = T 1 - T ∞

C 1 = r 2 T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2

Vamos encontrar o valor da C 2 na equação (1).

Para isso substitua C 1 por r 2 T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2 .

C 2 = T 1 + C 1 r 1

= T 1 + T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2 r 2 r 1

Passo 5

Substitua  C 1 C 2 na equação da distribuição de temperatura,

T r = - C 1 r + C 2

T r = - C 1 r + T 1 + C 1 r 1

= C 1 1 r 1 - 1 r + T 1

= r 2 T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2 r 2 r 1 - r 2 r + T 1

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T r = 0 - 25 1 - 2,1 2 - 30 18 ⋅ 2,1 2,1 2 - 2,1 r + 0

T ( r ) = 29,655 1,05 - 2,1 r

Portanto, a variação de temperatura no recipiente é T ( r ) = 29,655 1,05 - 2,1 r

Passo 6

c) Encontre a taxa de condução de calor na superfície do recipiente usando a equação.

Q = - k A d T d r r = r 1

Aqui, a área de seção transversal do contêiner é  A  ,  Q é o calor perdido na superfície do contêiner e a condutividade térmica do material é  k .

Sabemos que A = 4 π r 1 2

d T d r r = r 1 = C 1 r 1 2

C 1 = r 2 T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2

Dessa forma, temos que:

Q = - k 4 π r 1 2 C 1 r 1 2

= - 4 π k C 1

= - 4 π k r 2 T 1 - T ∞ 1 - r 2 r 1 - k h r 2

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

Q = - 4 π 30 2,1 ⋅ ( 0 - 25 ) 1 - 2,1 2 - 30 18 ⋅ 2.1

Q = - 23460   W

Portanto, a taxa de perda de calor da superfície do recipiente é igual ao ganho de calor da água gelada. Q = - 23460   W

Resposta

  1. d d r r 2 d T d r = 0
  2. E as condições de contorno são: T r 1 = T 1 = 0   ℃ e - k d T r 2 d r = h [ T r 2 - T ∞ ]

  3. T ( r ) = 29,655 1,05 - 2,1 r
  4. Q = - 23460   W
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