Enunciado

Considere a turbina extraindo energia através de um conduto forçado em uma barragem, como na Figura P3.132. Para escoamento turbulento em dutos (Capítulo 6), a perda de carga por atrito é aproximadamente hp = CQ², em que a constante C depende das dimensões do conduto forçado e das propriedades da água. Mostre que, para uma dada geometria de conduto forçado e vazão variável Q do rio, a máxima potência possível da turbina nesse caso é P m a x = 2 ρ g H Q / 3 e ocorre quando a vazão é Q = √ ( H / ( 3 C ) .

Passo 1

Bora que essa é fácil!!

Vamos primeiro fazer nossas hipóteses como de costume:

  1. Estado estacionário
  2. Fluido Incompressivel

Considerando como ponto 1 e 2 a superfície de cima e a superfície de baixo respectivamente, temos a equação de energia dada por:

P 1 ρ g + V 1 2 2 g + H = P 2 ρ g + V 2 2 2 g + 0 + h p + h t u r b i n a

Note que P 1 = P 2 = P a t m ,   e   V 1 ≈ V 2 ≈ 0 . Daí reduzimos a equação da energia a:

h t u r b i n a = H - h p , mas h p ≈ C Q 2 , daí:

h t u r b i n a = H - C Q ²

E a potência da turbina será dada por:

P = ρ g Q h t u r b i n a = ρ g Q H - ρ g C Q 3

Passo 2

Agora, vamos calcular a máxima potência possível, para isso utilizaremos conceitos de cálculo. Derivaremos função da potência da bomba obtida e igualaremos a equação resultante a zero, para assim obtermos nosso ponto em que a potência será máxima.

d P d Q =   ρ g H - 3 ρ g C Q 2 = 0 → Q 2 =   ρ g H 3 ρ g C → Q = √ ( H 3 C )

E assim, substituindo esta expressão obtida na expressão da potência da turbina obtemos a maior potência possível da turbina, da forma:

P m a x = ρ g Q h t u r b i n a = ρ g Q ( H - C ( H 3 C ) ² =   ρ g Q ( 2 H 3 )

Resposta

Conforme demonstrado a potência máxima é P m a x =   ρ g Q ( 2 H 3 ) e Q = √ ( H 3 C ) .

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