Enunciado

Uma corrente de líquido movendo a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo. A velocidade pode ser considerada uniforme na seção de saída do bocal e os efeitos de atrito podem ser desprezado. Na saída do bocal, localizada na elevação z 0 , a velocidade e área do jato são V 0 e A 0 respectivamente. Determine a variação da área do jato com a elevação.

Passo 1

Vamos começar aplicando a equação de Bernoulli entre a entrada do bocal (1) e a sua saída (0), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 0 ρ + v 0 2 2 + g z 0

Sabemos que ambos os pontos 1 e 2 estão expostos ao ambiente, então temos p 1 = p 0 = p a t m e os termos de pressão se anulam, então, substituindo os valores conhecidos, temos:

V 1 2 2 + g z 1 = V 0 2 2 + g z 0

Passo 2

Como sabemos que tudo que entra no bocal na seção 1 tem que sair por 0, então podemos usar a fórmula da continuidade para escrever uma relação entre as velocidades V 1 e V 0 :

Q 1 = Q 0 → V 1 A 1 = V 0 A 0 → V 1 = V 0 A 0 A 1

Agora vamos substituir essa expressão encontrada para V 1 na equação de Bernoulli do passo 1:

V 1 2 2 + g z 1 = V 0 2 2 + g z 0 → 1 2 V 0 A 0 A 1 2 + g z 1 = V 0 2 2 + g z 0

Agora precisamos encontrar uma relação para a área de saída A 0 , para isso, vamos manipular a equação anterior:

V 0 2 A 0 2 2 A 1 2 + g z 1 = V 0 2 2 + g z 0 → V 0 2 A 0 2 A 1 2 + 2 g z 1 = V 0 2 + 2 g z 0

V 0 2 A 0 2 A 1 2 = V 0 2 + 2 g z 0 - z 1 → A 0 2 = A 1 2 V 0 2 V 0 2 + 2 g z 0 - z 1

E, finalmente, aplicando a raiz dos dois lados da equação, chegamos em:

A 0 = A 1 V 0 V 0 2 + 2 g ( z 0 - z 1 )

Resposta

A 0 = A 1 V 0 V 0 2 + 2 g ( z 0 - z 1 )

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