Enunciado

Considere o ventilador e os dados de desempenho do Problema 10.84. Para Q = 5,75   m 3 / s , a pressão dinâmica é equivalente a 4 mm de coluna de água. Avalie a área de saída do ventilador. Trace um gráfico do aumento de pressão total e da potência de entrada (em hp) versus vazão em volume. Calcule a eficiência total do ventilador e mostre a curva no gráfico. Determine o ponto de melhor eficiência e especifique os valores de operação do ventilador neste ponto.

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício escrevendo a equação da eficiência estática do ventilador, dada pela razão entre a potência hidráulica produzida e a potência mecânica que é fornecida ao sistema, ou seja:

η = P h P m

E, sabemos que a potência hidráulica é dada por:

P h = Q Δ p t

Em que Δ p t é a queda de pressão total, que pode ser escrita como:

Δ p t = ρ g Δ h t

Agora, vamos escrever a equação para a pressão dinâmica:

p d = ρ a r V 2 2

E, dessa forma, a altura correspondente a pressão dinâmica pode ser escrita como:

h d = p d ρ g

Substituindo a expressão para p d :

h d = ρ a r V 2 2 ρ g → V = 2 ρ H 2 O g h d ρ a r

Passo 2

Então, através da fórmula da vazão, temos:

Q = V A

Substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, temos:

Q = 2 ρ H 2 O g h d ρ a r A

Substituindo os valores conhecidos, temos:

5,75 = 2 999 9,81 0,004 9,81 999 1,23 A → A = 7,27.10 - 3   m 2

Passo 3

Tá legal, agora para desenhar os gráficos do aumento da pressão total e da potência de entrada versus a vazão, precisamos dessas expressões em função da vazão, então, conforme vimos no passo 1, o aumento de pressão total será:

Δ p t = ρ g Δ h t

Só que Δ h t é a queda de altura total, soma da queda estática e dinâmica, dada por:

Δ h t = Δ h + h d

Os valores para Δ h foram fornecidos no enunciado em função de Δ p e nós encontramos a expressão para h d , então, temos:

Δ h t = Δ p ρ g + ρ a r V 2 2 ρ g

E, substituindo a velocidade em função da vazão, temos:

Δ h t = Δ p ρ g + ρ a r Q A 2 2 ρ g → Δ h t = Δ p ρ g + ρ a r Q 2 2 ρ g A 2

Substituindo essa expressão na equação da queda de pressão, temos:

Δ p t = ρ g Δ p ρ g + ρ a r Q 2 2 ρ g A 2 → Δ p t = Δ p + ρ a r Q 2 2 A 2

Então, plotando essa equação com os valores conhecidos e tabelados no enunciado, temos:

Passo 4

Agora para o gráfico da potência de entrada versus a vazão, basta plotar os resultados tabelados fornecidos no enunciado, então, temos:

Passo 5

Para a curva de eficiência, vamos voltar à equação da eficiência do passo 1:

η = P h P m

E sabemos que a potência hidráulica é dada por:

P h = Q Δ p t

Então, substituindo a expressão encontrada para Δ p t no passo 3, temos:

P h = Q Δ p + ρ a r Q 2 2 A 2

Então a equação da eficiência se torna:

η = Q Δ p + ρ a r Q 2 2 A 2 P m

E o gráfico dessa curva será:

O ponto de melhor eficiência será para η = 0,89 . Nesse ponto, temos:

Q = 4,9   m 3 / s

No gráfico da queda de pressão do passo 3, para essa vazão, temos uma queda total de:

Δ p t = 630   P a

E, então, a equação da eficiência se torna:

η = Q Δ p t P m → 0,89 = 4,9 630 P m → P m = 3,47   k W

Resposta

A = 7,27.10 - 3   m 2

η = 0,89

Q = 4,9   m 3 / s

Δ p t = 630   P a

P m = 3,47   k W

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