Enunciado

Convecção natural ocorre entre esferas concêntricas. A esfera interna tem diâmetro D i = 50   m m e está a uma temperatura de T i = 50 ° C , enquanto a esfera externa é mantida a T e = 20 ° C . No espaço entre as esferas há ar. Qual diâmetro da esfera externa é requerido de modo que a transferência de calor por convecção saindo da esfera interna é a mesma que aconteceria se ela estivesse colocada em um grande ambiente com ar quiescente a T ∞ = 20 ° C ?

Passo 1

O exercício propõe a seguinte situação: temos uma esfera de diâmetro D i = 50 × 10 - 3   m e temperatura T i = 50 ° C exposta ao ar atmosférico, de temperatura T ∞ = 20 ° C . Devido à diferença de temperatura haverá uma taxa de transferência de calor entre a esfera e o ar. Tudo bem?

Devemos então revestir a primeira esfera com uma segunda esfera de diâmetro D e e T e = 20 ° C , com ar entre as esferas, de modo a obter a mesma taxa de transferência. Nossa tarefa será encontrar o diâmetro D e em que isto ocorre. Vamos lá?

Nosso primeiro passo será calcular a temperatura média do ar, que será a mesma nos dois casos, e reunir as propriedades do fluido. A temperatura média é dada por:

T - m = T i + T e 2

T - m = 50 + 20 2

T - m = 35 ° C = 308   K

De acordo com a tabela A - 4 do apêndice A, as propriedades do ar nesta temperatura são:

ρ = 1,1348   k g / m 3

c p = 1007,3   J / k g K

ϑ = 16,69 × 10 - 6   m 2 / s

k = 26,9 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,706

Passo 2

Vamos começar determinando a taxa de transferência de calor para a esfera exposta ao ar quiescente. Para isso, começaremos calculando o número de Rayleigh:

R a e = g β ∆ T D i 3 k ρ c p × ϑ

R a e = 9,81 × 1 T - m × ( T i - T ∞ ) × 50 × 10 - 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a e = 9,81 × 1 308 × ( 50 - 20 ) × 50 × 10 - 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a e = 304101,8

O próximo passo será obter o coeficiente convectivo. Para isso, vamos aplicar a correlação de Nusselt para esferas imersas em um fluido:

N u - D = h - D i k = 2 + 0,589 R a e 1 4 1 + 0,469 P r 9 16 4 9

h - = k D i × 2 + 0,589 R a e 1 4 1 + 0,469 P r 9 16 4 9

h - = 26,9 × 10 - 3 50 × 10 - 3 × 2 + 0,589 × 304101,8 1 4 1 + 0,469 0,706 9 16 4 9

h - = 6,814   W / m 2 K

Por fim, a taxa de transferência de calor por convecção será:

q = h - A s ( T i - T ∞ )

q = 6,814 × π × D i 2 × ( 50 - 20 )

q = 1,606   W

Passo 3

Vamos agora utilizar este valor para encontrar o espaço fechado esférico que gera a mesma taxa de transferência de calor.

A taxa de calor por convecção natural neste espaço é dada por:

q = 4 π k e f 1 r i - 1 r e ( T i - T e )

Então, ainda precisaremos obter a condutividade efetiva para esta situação. Tudo bem?

Para isso, vamos começar calculando o comprimento característico para um espaço esférico confinado:

L c = 1 r i - 1 r e 4 3 2 1 3 r i - 7 5 + r e - 7 5 5 3

L c = 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 3 2 1 3 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 3 Como ainda não definimos o valor de r e vamos mantê-lo assim na equação.

Nosso próximo é obter o número de Rayleigh:

R a L = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a L = 9,81 × 1 T - m × ( T i - T e ) × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 3 2 1 3 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 308 × ( 50 - 20 ) × 1 2 5 × 10 - 3 - 1 r e 4 2 × 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a L = 1,216 × 10 9 × 1 2 5 × 10 - 3 - 1 r e 4 2 5 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5

Passo 4

Agora que encontramos uma relação para o número de Rayleigh podemos aplicar a correlação de condutividade térmica efetiva:

k e f k = 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a L 1 4

k e f = k × 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a L 1 4

k e f = 26,9 × 10 - 3 × 0,74 × 0,706 0,861 + 0,706 1 4 × 1,216 × 10 9 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 1 4

k e f = 3,046 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4

Retornando para a relação de taxa de transferência de calor:

q = 4 π k e f 1 r i - 1 r e ( T i - T e )

1,606 = 4 × π × 3,046 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 1 25 × 10 - 3 - 1 r e × ( 50 - 20 )

1,606 = 4 × π × 3,046 2 5 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 × ( 50 - 20 )

25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 = 4 × π × 3,046 1,606 × 50 - 20 = 715,122  

25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 = ( 715,122 ) 4 5 = 192,09

r e - 7 5 = 192,09 - 25 × 10 - 3 - 7 5 = 17,152

r e = 17,152 - 5 7 = 0 , 131   m

Então, o diâmetro da esfera externa é:

D e = 2 × r e = 0,262   m

Resposta

O diâmetro requerido é D e = 0,262   m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um coletor solar tem um canal formado por placas paralelas que está conectado a um reservatório de armazenamento de água na sua parte inferior e a um sumidouro de calor na parte superior. O canal está
Um conjunto de fornos de secagem é montado sobre uma prateleira em uma sala com o ar ambiente a uma temperatura de 27°C. Os fornos cúbicos têm 500 mm de lado e o espaçamento entre eles é de 15 mm.(a)
Considere uma seção horizontal de um teto plano, que tem as mesmas dimensões de uma seção vertical de uma parede. Para ambas as seções, as superfícies expostas ao espaço preenchido pelo ar estão a 18°
A placa absorvedora e a placa de cobertura adjacente em um coletor solar plano estão a 70° e 35°C, respectivamente, e encontram-se separadas por uma camada de ar com 0,05 m de espessura. Qual é a taxa
Considere um sistema de armazenamento térmico no qual o material que muda de fase (parafina) é confinado em um grande reservatório, cuja superfície inferior, horizontal, é mantida a Ts = 50°C por água