Enunciado

A cúpula hemisférica na Figura P2.91 pesa 30 kN e está cheia de água e presa ao piso por seis parafusos igualmente espaçados. Qual é a força exigida em cada parafuso para manter a cúpula fixa ao chão?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma cúpula hemisférico cheia de água presa por seis parafusos, e queremos saber a força exigida em cada um dos parafusos para manter esse sistema no chão.

Podemos ver, pela figura, que o sistema é formado pela cúpula hemisférica de raio igual a 2   m e uma espécie de tubo de 0,03   m de diâmetro e 4   m de altura no topo.

A força aplicada nos parafusos se deve tanto à força hidrostática quanto ao peso da própria cúpula. Nos próximos passos, eu ou te ensinar a calcular essas forças.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, devemos calcular a força hidrostática F V agindo nesse sistema. Como o sistema é simétrico, ela será apenas vertical.

Pra você entender melhor como iremos calculá-la, dê uma olhada na figura abaixo:

Iremos utilizar o chamado peso da água “ausente”. Isso nos permite calcular o peso que a água exerceria se o segmento pintado de azul na imagem estivesse preenchido com o fluido (ou seja, se fosse um cilindro).

A força F V age justamente de maneira a compensar esse peso ausente, apontando para cima.

Logo, basta subtrairmos o peso da água em um hemisfério ( W h e s m i s f ) de raio 2   m e o peso da água em um tubo ( W t u b o ) de de 0,03   m de diâmetro e 4   m de altura do peso da água em um cilindro ( W c i l i n d r o ) de raio 2   m e altura 2 m + 4   m .

Iremos considerar o peso específico da água a 20   ° C como 9790   N m 3 .

Portanto, temos que:

F V = W c i l i n d r o - W h e s m i s f - W t u b o  

F V = 9790   N m 3 π 2   m 2 × 6   m - 2 π 2   m 3 3 - π 0,03   m 2 4 × 4   m

F V = 574.088   N

Passo 3

Agora, basta que a gente subtraia o peso da estrutura da força hidrostática para achar a força total que os parafusos necessitam ter para garantir que a cúpula fique fixada no chão:

F t o t a l =   574.088   N - 30.000   N = 544.088   N

Agora, basta dividirmos por 6 para saber qual a força requerida de cada parafuso individualmente:

F p a r a f u s o = F t o t a l 6 = 544.088   N 6 = 90.681   N  

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A força exigida em cada parafuso para manter a cúpula fixa ao chão é F p a r a f u s o = 90.681   N .

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