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Para determinar quais partes do cérebro de uma aranha são ativadas com atividade neural em resposta a vários estímulos óticos, os pesquisadores na Universidade de Massachusetts – Amherst desejam examinar o cérebro como fica após serem mostradas imagens que invocam emoções como medo ou fome. Seja uma aranha a T i = 20°C a qual é mostrada uma terrível cena e então é imediatamente imersa em nitrogênio líquido a T ∞ = 77 K. O cérebro é posteriormente dissecado em seu estado congelado e analisado para determinar quais partes do cérebro reagem ao estímulo. Usando o seu conhecimento de transferência de calor, determine quanto tempo passa antes do cérebro da aranha iniciar o congelamento. Suponha que o cérebro seja uma esfera de diâmetro D c = 1 mm, localizado no centro da massa toráxica da aranha, que pode ser aproximada como uma casca esférica de diâmetro D c c = 3 mm. As propriedades do cérebro e da massa toráxica são correspondentes às da água líquida. Despreze os efeitos do calor latente de fusão e suponha o coeficiente de transferência de calor igual a h = 100 W/(m² · K).

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é consultar a tabela do apêndice A para pegar as informações a respeito da água na temperatura de 20 °C = 293 K, então, teremos:

ρ = 1000   k g / m 3

c = 4193   J / k g . K

k = 0,600

Então, vamos calcular o número de Biot para ver se podemos usar o método da capacitância global, dessa forma, temos:

B i = h r o k = h D c 2 k

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

B i = 100 3.10 - 3 2 0,6 → B i = 0,25

Então, não poderemos usar o método da capacitância global, já que o número de Biot não é pequeno o suficiente.

Passo 2

Então, nesse caso, teremos que utilizar os conceitos de aproximação vistos nessa seção. Para isso, vamos recorrer à tabela 5.1 dessa seção e buscar os valores dos coeficientes de interesse, então, temos:

ξ 1 = 0,8447

C 1 = 1,0737

Agora, utilizando a equação 5.53a:

θ * = C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F o . 1 ξ 1 r * sen ⁡ ξ 1 r *

Isolando F o dessa equação, chegamos em:

θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = exp ⁡ - ξ 1 2 F o → ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = - ξ 1 2 F o

F o = - 1 ξ 1 2 ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r *

Agora, encontrando o termo θ * , temos:

θ * = T - T ∞ T i - T ∞ = 273 - 77 293 - 77 → θ * = 0,907

E, calculando r * , temos:

r * = D c D c c = 0,001 0,003 → r * = 0,333

Passo 3

Então, agora vamos calcular F o pela expressão encontrada no passo 2, dessa forma, temos:

F o = - 1 ξ 1 2 ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = - 1 0,8447 2 ln ⁡ 0,907 0,8447 0,333 1,0737 s e n 0,8447 0,333

F o = 0,2164

Então, como temos F o > 0,2 , a solução aproximada é válida, então, através da equação exata de F o , que é dada por:

F o = α t D c c 2 2 = k t ρ c D c c 2 2

Isolando o tempo dessa equação, temos:

t = F o ρ c D c c 2 2 k

Substituindo os valores conhecidos, nós conseguimos encontrar o tempo para que o cérebro comece a congelar:

t = 0,2164 1000 4193 0,003 2 2 0,6 → t = 3,4   s

Resposta

t = 3,4   s

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