Responde Aí

Enunciado

O coeficiente convectivo associado ao escoamento de um fluido sobre uma esfera sólida pode ser determinado pela imersão da esfera, inicialmente a 25°C, no interior do escoamento a 75°C e a medida de sua temperatura superficial em algum instante de tempo durante o processo transiente de aquecimento.

(a) Se a esfera tem um diâmetro de 0,1 m, uma condutividade térmica de 15 W/(m · K) e uma difusividade térmica de 10 - 5 m²/s, em que instante de tempo a temperatura superficial de 60°C será registrada se o coeficiente convectivo for de 300 W/(m² · K)?

(b) Avalie o efeito do valor da difusividade térmica na resposta térmica do material calculando os históricos das temperaturas no centro e na superfície da esfera para α = 10 - 6 , 10 - 5 e 10 - 4 m²/s. Represente graficamente os seus resultados para o período 0 ≤ t ≤ 300 s. De maneira análoga, avalie o efeito da condutividade térmica considerando valores de k = 1,5; 15 e 150 W/(m · K).

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é calcular o número de Biot para esse caso, então, teremos:

B i = h r o 3 k = 300 0,05 3 15 → B i = 0,333

Então, não poderemos usar o método da capacitância global, já que o número de Biot não é pequeno o suficiente. Vamos então usar a aproximação para condução unidimensional em uma esfera.

Passo 2

Para isso vamos utilizar a equação 5.53a vista nesse capítulo, onde temos:

θ * = C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F o . 1 ξ 1 r * sen ⁡ ξ 1 r *

Isolando F o dessa equação, chegamos em:

θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = exp ⁡ - ξ 1 2 F o → ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = - ξ 1 2 F o

F o = - 1 ξ 1 2 ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r *

Agora, encontrando o termo θ * , temos:

θ * = T - T ∞ T i - T ∞ = 60 - 75 25 - 75 → θ * = 0,3

E, calculando r * , como estamos interessados na superfície, temos:

r * = D c D c c = 0 , 1 0 , 1 → r * = 1

Passo 3

Agora, vamos precisar das constantes ξ 1 e C 1 que se encontram na tabela 5.1, para isso, precisamos antes calcular o número de Biot, então, teremos:

B i = h r o k = 300 0,05 15 → B i = 1

Então, para esse número de Biot, temos as seguintes constantes:

ξ 1 = 1,5708

C 1 = 1,2732

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para F o , temos:

F o = - 1 ξ 1 2 ln ⁡ θ * ξ 1 r * C 1 sen ⁡ ξ 1 r * = - 1 1,5708 2 ln ⁡ 0,3 1,5708 1 1,2732 s e n 1,5708 1

F o = 0,4028

Então, como temos F o > 0,2 , a solução aproximada é válida, então, através da equação exata de F o , que é dada por:

F o = α t r o 2

Isolando o tempo dessa equação, temos:

t = F o r o 2 α

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t = 0,4028 0,05 2 10 - 5 → t = 100,7   s

Passo 4

Agora para a letra (b) nós vamos utilizar as expressões dos passos anteriores, só que, precisamos de um auxílio de software para resolver de maneira iterativa. No entanto, o procedimento adotado deve ser pegar a equação de aproximação descrita no passo 2:

θ * = C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F o . 1 ξ 1 r * sen ⁡ ξ 1 r *

Vamos substituir as expressões para F o e θ * , para deixar em função do tempo e das temperaturas na superfície e no centro, então, temos:

T - T ∞ T i - T ∞ = C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 α t r o 2 . 1 ξ 1 r * sen ⁡ ξ 1 r *

Então, utilizando essa expressão, para diferentes valores de α , no intervalo de 0 ≤ t ≤ 300   s , para a temperatura no centro da esfera, temos:

Agora, da mesma forma, para a temperatura na superfície, temos:

Passo 5

Agora, da mesma forma, vamos fixar o valor de α = 10 - 5 , que foi o valor utilizado para cálculo na letra (a) e vamos variar o valor de k . Dessa forma, para a temperatura no centro, temos o seguinte gráfico:

E a temperatura na superfície será:

Resposta

t = 100,7   s

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