Enunciado

Devido ao bloqueio do fluxo de fluido, a taxa de transferência de calor, para as superfícies aletadas com uma série de aletas, normalmente decresce com o aumento do número de aletas. Considere, a série de aletas mostradas na figura 3.21ª, com uma parede com uma altura de 20 m m , w = 20 m m , t = 2 m m e L = 20 m m . As aletas são de alumínio e a base está a uma temperatura de T b = 95 ° C , enquanto o ambiente está a uma temperatura de T ∞ = 20 ° C . Como uma primeira aproximação, assuma que, h = h m á x × 1 - N N m á x onde N m á x   é o máximo número de aletas que podem ser colocadas na superfície, então N m á x = 20 m m 2 m m = 10 . Para h m á x = 50   W / ( m 2 . K ) , determine a taxa total de transferência de calor para, N = 0,3 , 6   e   9 aletas.

Passo 1

Olá jovem, bora de mais uma questãozinha de aleta?? Simbora!

Seguinte, exercício sem muito segredos. Basta aplicarmos as fórmulas das nossas aletas.

Lembrando que, para uma superfície aletada:

q ˙ = h A R + η A A T s - T ∞

Onde:

A A = Á r e a   E x p o s t a   d a s   a l e t a s .

A R = Á r e a   e x p o s t a   d a   s u p e r f í c i e   d a   b a s e

E

η = tanh ⁡ m   .   L m   .     L

Lembrando ainda, que m = 2 h / k t   para aletas quadradas como a nossa.

Bom, vamos começar achando o nosso k , você pode achar ele na tabela A . 1 . Vamos assumir que ele seja mais ou menos: k = 237   W / ( m . K ) .

E então podemos começar a calcular.

Passo 2

  1. Zero aletas.
  2. A nossa expressão para a taxa de transferência se reduz à:

    q ˙ = h A R T s - T ∞

    Com,

    h = 50   1 - 0 1 0 = 50   W / ( m 2 . K )

    Teremos então,

    q ˙ = 50 0,02 × 0,02 9 5 - 20

    E então:

    q ˙ = 1,5   W

  3. Para 3 aletas.
  4. A nossa fórmula volta a ser:

    q ˙ = h A R + η A A T s - T ∞

    Dessa vez,

    h = 50 1 - 3 10 = 35   W / ( m 2 . K )

    e

    A A = 2 × 0,02 * 0,02 = 8 × 10 - 4 m 2

    Lembrando que levamos em conta as áreas de cima e de baixo de uma única aleta (podemos desconsiderar que exista fluxo pela espessura t da aleta). Mas como temos 3 aletas:

    A A = 2,4 × 10 - 3 m 2

    Com isso, a área exposta da parede é reduzida:

    A R = 0,02 * 0,02 - 3 * 0,02 * 0,002 ⏟ Á r e a   t r a s n v e r s a l   d a   a l e t a = 2,8 × 10 - 4 m 2

    E sem esquecer da eficiência da aleta:

    η = tanh ⁡ m . L m . L

    Com,

    m = 2 35 ( 0,002 ) ( 237 ) = 12,15

    Então:

    η = tanh ⁡ 12,15 × 0,02 12,15 × 0,02 = 0,98

    Finalmente:

    q ˙ = 35 2,8 × 10 - 4 - 0,98 2,4 × 10 - 3 95 - 20

    q ˙ = - 5,44   W

    Passo 3

    Tá comigo?? Tamo quase! Força Pikachu!

  5. Para 6 aletas:
  6. q ˙ = h A R + η A A T s - T ∞

    Com,

    h = 50 1 - 6 10 = 20   W / ( m 2 . K )

    As nossas áreas serão:

    A A = 4 , 8 × 10 - 3 m 2

    E

    A R = 0,02 * 0,02 - 6 * 0,02 * 0,002 = 1,6 × 10 - 4 m 2

    Teremos ainda:

    m = 2 20 ( 0,002 ) ( 237 ) = 9,19

    E portanto:

    η = tanh ⁡ 9,19 × 0,02 0,02   .     9,19 = 0,988

    E então:

    q ˙ = 20 1,6 × 10 - 4 - 0,98 8 4,8 × 10 - 3 95 - 20

    q ˙ = - 6 , 87 W

  7. Para 9 aletas:

q ˙ = h A R + η A A T s - T ∞

Teremos:

h = 50 1 - 9 10 = 5   W / ( m 2 . K )

A A = 7,2 × 10 - 3 m 2

A R = 0,02 * 0,02 - 9 * 0,02 * 0,002 = 4 ×   10 - 5 m 2

E

m = 2 5 ( 0,002 ) ( 237 ) = 4,59

E então:

η = tanh ⁡ 4,59 × 0,02 0,02   .     4,59 = 0,997

Ou seja:

q ˙ = 5 4 × 10 - 5 - 0,9 97 7,2 × 10 - 3 95 - 20

q ˙ = - 2,7 W

UFaaa! Então é isso. Até a próxima jovem!!

Resposta

Portanto:

  1. Sem aletas: q ˙ = 1,5 W
  2. 3 aletas: q ˙ = - 5,44 W
  3. 6 aletas: q ˙ = - 6,87 W
  4. 9 aletas: q ˙ = - 2,7 W
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