Enunciado

Um esquema para aquecer simultaneamente correntes separadas de água e de ar envolve a sua passagem através e sobre um conjunto de tubos, respectivamente, enquanto as paredes dos tubos são aquecidas eletricamente. Para aumentar a transferência de calor no lado do gás, aletas anulares de perfil retangular são fixadas à superfície externa dos tubos. A fixação é facilitada pelo uso de um adesivo dielétrico, que isola eletricamente as aletas da parede do tubo por onde passa a corrente elétrica.

  1. Supondo geração de calor volumétrica uniforme no interior da parede do tubo, obtenha expressões para as taxas de transferência de calor, por unidade de comprimento do tubo ( W / m ), nas suas superfícies interna ( r i ) e externa ( r e ). Expresse os seus resultados em termos das temperaturas nas superfícies interna e externa do tubo, T s ,   i e T s ,   e , e de outros parâmetros pertinentes.
  2. Obtenha expressões que possam ser usadas para determinar T s ,   i e T s ,   e em termos dos parâmetros associados às condições nos lados da água e do ar.
  3. Considere condições nas quais a água e o ar estão a T ∞ ,   i = T ∞ ,   e = 300   K , com coeficientes de transferência de calor correspondentes de h i = 2000   W / ( m ² . K ) e h e = 100   W / ( m ² . K ) . O calor é uniformemente dissipado no tubo de aço inoxidável ( k p = 15   W / ( m . K ) ), com raios interno e externo r i = 25   m m e r e = 30   m m , e aletas de alumínio ( t = δ = 2   m m , r t = 55   m m ) fixadas na sua superfície externa com R t ,   c " = 10 - 4   m ² . K / W . Determine as taxas de transferência de calor e as temperaturas nas superfícies interna e externa do tubo em função da taxa volumétrica de aquecimento q . O limite superior para q será determinado pelas restrições de que T s ,   i não pode exceder o ponto de ebulição da água ( 100 ° C ) e T s ,   e não deve exceder a temperatura de decomposição do adesivo ( 250 ° C ).

Passo 1

Opa! Fala aí! Vamos matar essa questãozinha show de bola? Vamos sim!

Ela parece bem grande e assustadora, né?

Mas não é nada disso! Relaxa que a gente dá conta junto!

Temos três letrinhas para resolver… Vamos começar pelo começo!

A letra a, pede pra gente encontrar as expressões para as taxas de transferência de calor que sejam em função das temperaturas… Hummm… Pra isso vamos usar a equação C.8 do apêndice C do livro, ela nos mostra o seguinte:

q ( r ) =   q   .     π   .   L   .   r ²   - 2 . π . L . k l n ( r 2 / r 1 ) . q . r 2 2 4 . k   .   1 - r 1 2 r 2 2 + T s ,   2 - T s ,   1

Agora vamos substituir nossos termos nela, ok?

Primeiro para a equação em r i , e depois em r e :

q ( r i ) =   q   .     π   .   r i 2   - 2 . π . k s l n ( r e / r i ) . q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i

q ( r e ) =   q   .     π   .   r e 2   - 2 . π . k s l n ( r e / r i ) . q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i

Show de bola! Não esqueça que a gente tirou o L por que nosso enunciado pediu a transferência de calor por unidade de comprimento do tubo, beleza?

Passo 2

Letra b agora!

Ele quer que a gente encontre as expressões que determinam T s ,   i e T s ,   e , vamos nessa então!

Vamos ter que ir de novo lá no apêndice C, beleza? E pegar as equações que descrevem o equilíbrio de energia da superfície interna e da externa… São as equações C.16 e C.17:

U 1 ( T ∞ ,   1 - T s ,   1 ) = q . r 1 2 - k   .   q . r 2 2 4 . k   .   1 - r 1 2 r 2 2 + T s ,   2 - T s ,   1 r 1   .   l n ( r 2 / r 1 )

U 2 ( T s ,   2 - T ∞ ,   2 ) = q . r 2 2 - k   .   q . r 2 2 4 . k   .   1 - r 1 2 r 2 2 + T s ,   2 - T s ,   1 r 2   .   l n ( r 2 / r 1 )

Agora vamos substituir nossos termos nas dua equações, certo?

U i ( T ∞ ,   i - T s ,   i ) = q . r i 2 - k s   .   q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i r i   .   l n ( r e / r i )

U e ( T s ,   e - T ∞ ,   e ) = q . r e 2 - k s   .   q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i r e   .   l n ( r e / r i )

Tranquilo? Agora só falta a nossa letra c!

Passo 3

Bom, a letra c quer que a gente encontre as taxas de transferência de calor e as temperaturas nas superfícies interna e externa do tubo… Mas ele faz uma série de considerações… Humm… Vamos anotar elas aqui embaixo pra gente não esquecer quais são elas, beleza?

T ∞ ,   i = T ∞ ,   e = 300   K h i = 2000   W / ( m ² . K ) h e = 100   W / ( m ² . K )

k p = 15   W / ( m . K ) r i = 25   m m → 0,025   m r e = 30   m m → 0,030   m

t = δ = 2   m m   → 0,002   m r t = 55   m m → 0,055   m R t ,   c " = 10 - 4   m ² . K / W

Usando os limites de temperatura T s ,   i = 100 ° C   → 373   K e T s ,   e = 250 ° C   → 523   K , vamos encontrar o que ele quer nas equações da letra a e da letra b, vamos nessa então:

q ( 0,025 ) =   q   .     π   .   ( 0,025 ² )   - 2 . π . 15 l n ( 0,030 / 0,025 ) . q . ( 0,030 ² ) 4.15   .   1 - 0,025 ² 0,030 ² + 523 - 373

q ( 0,025 ) =   q   .     0,00196   - 516,93   . 4,58   .   10 - 6 . q + 150

q ( 0,025 ) =   q . 0,00196   - 0,00237 . q   - 77539,5

q ( 0,025 ) =   - 0,00041   .   2000   - 77539,5

q ( 0,025 ) =   - 77540,32   W / m

q ( 0,030 ) =   q   .     π   .   ( 0,030 ² )   - 2 . π . 15 l n ( 0,030 / 0,015 ) . q . ( 0,030 ² ) 4.15   .   1 - 0,025 ² 0,030 ² + 523 - 373

q ( 0,030 ) =   q . 0,00283   - 516,93   . 4,58   .   10 - 6 . q + 150

q ( 0,030 ) =   q . 0,00283   - 0,00237 . q   - 77539,5

q ( 0,030 ) =   0,00046   .   100   - 77539,5

q ( 0,030 ) =   - 77539,45   W / m

Agora vamos fazer o mesmo para a temperatura:

U i ( 300 - 373 ) = q . 0,025 2 - 15   .   q . 0,030 ² 4.15   .   1 - 0,025 ² 0,030 ² + 523 - 373 0,025   .   l n ( 0,030 / 0,025 )

U i ( - 73 ) = 0,0125 . q - 15   .   4,58   .   10 - 6 . q + 150 0,025   .   l n ( 0,030 / 0,025 )

U i ( - 73 ) = 0,0125 . q - 3290,89 . 4,58   .   10 - 6 . q + 150

U i ( - 73 ) = 0,0125 . q - 0,0151 . q - 493633,5

U i ( - 73 ) =   - 0,0026 . q - 493633,5

E pra fechar:

U e ( 523 - 300 ) = q . 0,030 2 - 15   .   q . 0,030 ² 4.15   .   1 - 0,025 ² 0,030 ² + 523 - 373 0,030   .   l n ( 0,030 / 0,025 )

U e ( 223 ) = 0,015 . q - 15   .   4,58   .   10 - 6 . q + 150 0,030   .   l n ( 0,030 / 0,025 )

U e ( 223 ) = 0,015 . q - 2742,41   .   4,58   .   10 - 6 . q + 150

U e ( 223 ) = 0,015 . q - 0,013 . q - 411361,5

U e ( 223 ) = 0,002 . q - 411361,5

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

  1. q ( r i ) =   q   .     π   .   r i 2   - 2 . π . k s l n ( r e / r i ) . q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i
  2. q ( r e ) =   q   .     π   .   r e 2   - 2 . π . k s l n ( r e / r i ) . q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i

  3. U i ( T ∞ ,   i - T s ,   i ) = q . r i 2 - k s   .   q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i r i   .   l n ( r e / r i )
  4. U e ( T s ,   e - T ∞ ,   e ) = q . r e 2 - k s   .   q . r e 2 4 . k s   .   1 - r i 2 r e 2 + T s ,   e - T s ,   i r e   .   l n ( r e / r i )

  5. q ( 0,025 ) =   - 77540,32   W / m ; q ( 0,030 ) =   - 77539,45   W / m

U i ( - 73 ) =   - 0,0026 . q - 493633,5 ; U e ( 223 ) = 0,002 . q - 411361,5

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