Enunciado

Um dispositivo eletrônico, como um transistor de potência montado sobre um dissipador de calor aletado, pode ser modelado como um objeto espacialmente isotérmico com geração de calor e com uma resistência convectiva externa.

  1. Considere um desses sistemas com massa M , calor específico c e área superficial A s , que se encontra inicialmente em equilíbrio como ambiente T ∞ . Subitamente, o dispositivo eletrônico é energizado e ocorre uma geração de calor constante E g   ( W ) . Mostre que a resposta da temperatura do dispositivo é
  2. θ θ i = exp ⁡ - t R C

    Onde θ = T - T ( ∞ ) e T ( ∞ ) é a temperatura no regime estacionário correspondente a t → ∞ ; θ i = T i - T ( ∞ ) ; T i = temperatura inicial do dispositivo; R = resistência térmica 1 / ( h A s ) ; e C = capacitância térmica M c .

  3. Um dispositivo eletrônico, que gera 60 W de calor, está montado sobre um dissipador de calor feito em alumínio pesando 0,31 kg, que em condições de regime estacionário atinge uma temperatura de 100°C no ar ambiente a 20°C. Se o dispositivo está inicialmente a 20°C, qual é a temperatura que ele atingirá 5 min após a potência ser ligada?

Passo 1

Iai gente! Prontos pra detonar mais uma questão comigo? Bora lá!

  1. Seguindo a análise geral que é mostrada na Seção 5.3 do nosso livro e aplicando a regra de conservação de energia ao objeto, temos a seguinte relação:
  2. E i n + E g - E e x t = E s t

    Que é equivalente a dizer que que:

    E g - h A s T - T ∞ = M c d T d t

    Sabendo que T = T ( t ) . Agora, vamos considerar as condições de estado estático, com no caso, o termo de armazenamento da relação que escrevemos acima sendo zero. A temperatura do objeto será T ( ∞ ) tal que:

    E g = h A s T - T ∞

    Substituindo essa definição na equação geral, vamos ter:

    T ∞ - T ∞ - T - T ∞ = M c h A s d T d t

    Ou seja, temos que:

    θ = - M c h A s d θ d t

    Isso com θ = T - T ( ∞ ) e sabendo também que d θ = d T .

    Agora assumindo que R t = 1 / h A s   e que C t = M c , a equação diferencial pode ser integrada da seguinte forma:

    1 R t C t ∫ 0 t d t = ∫ θ i θ d θ θ

    Ou seja, podemos dizer que:

    θ θ i = exp ⁡ - t R t C t

    O que prova então a verificação pedida no enunciado!

    Passo 2

    Ufa, vamo pro próximo item!

  3. Usando as informações sobre condições de estado estático e também a seguite equação que até foi usada no item acima:

E g = h A s T - T ∞

Vamos encontrar primeiro a resitência térmica, a partir da equação abaixo:

R t = 1 h A s

Que é equivalente a dizer que:

R t = T ∞ - T ∞ E g

Substituindo pelos valores que possuímos, encontramos que:

R t = 100 - 20 60

Ou seja, podemos dizer que R t = 1,33   k / W .

Passo 2

b) Agora encontraremos a capacitância do sistema. Sabemos que C t = M c , logo podemos dizer que:

C t = 0,31 * 918

Ou seja, temos que C t = 285   J / K .

Agora precisamos definir a temperatura do sistema após 5 minutos. Usaremos a equação abaixo:

θ ( 5   m i n u t o s ) θ i = T 5 m i n u t o s - T ( ∞ ) T i - T ( ∞ )

Substituindo pelos valores que possuímos, temos que:

θ ( 5   m i n u t o s ) θ i = T 5 m i n u t o s - 100 20 - 100

Ou seja, aplicando o exponencial:

θ 5   m i n u t o s θ i = exp ⁡ 5 * 60 1,33 * 285

Logo, temos que:

θ 5   m i n u t o s θ i = 0,453

Portanto, nossa temperatura será:

T 5 m i n u t o s = 100 + 20 - 100 * 0,453

Nossa temperatura após 5 minutos é igual a 63,8 ° C .

Espero que tenham curtido! Nos vemos na próxima questão, galera!

Resposta

a) θ θ i = exp ⁡ - t R C

b) T 5 m i n u t o s = 63,8 ° C

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