Enunciado

Recentemente, você comprou uma casa, e quer aumentar a vazão de água para o andar de cima. A baixa vazão se deve a três razões: A pressão de água que chega ao relógio medidor da casa é baixa (p = 200 kPa manométrica); a tubulação tem um diâmetro pequeno (D = 1,27 cm) e desgastada, aumentando sua rugosidade (e/D = 0,05); o andar superior da casa está 15 m acima do relógio de água. Você está considerando duas alternativas para aumentar a vazão: a opção 1 é trocar todas as tubulações depois do relógio com novos tubos lisos com diâmetro de 1,9 cm; a opção 2 é instalar uma bomba, mantendo a tubulação original. A bomba tem uma pressão de entrada de 300 kPa. Que opção é a mais efetiva? Ignore as perdas menores.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos α = 1 ;

V 1 = V 2 ;

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desprezada, como pede o enunciado:

h p = f V ² L 2 g D          

Passo 2

O objetivo é aumentar a vazão de água para o andar de cima, então devemos analisar a situação da velocidade da água para posterior análise da vazão.

Certo, então temos 2 opções a considerar:

Opção 1)

D = 0,019 m   ,   z 1 → n í v e l   0 e P 2 = P a t m     → P 2 = 0 ( m a n o m é t r i c a )

Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

P 1 ρ - g z 2 = f V ² L 2 D

Isolando:

V = 2 D P 1 ρ - g z 2 f L   ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Sabendo que:

P 1 = 200 k P a     ρ = 999 k g m 3   μ = 1,01 * 10 - 3 N s m   z 2 = 15 m   L = 23 m ( p e l a   f i g u r a )

Obs: propriedades da água à 20 0 C , Tabela A.7

Obs2: Assumimos que a nova tubulação possui tubos lisos(enunciado), então a rugosidade e=0, portanto:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e ∙ f   ( 4 )

Então, as equações 1, 2 e 4 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , que podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  2. f = 0 , 0 1 5

    Então, pela iteração:

    V = 2,42 m s         e       R e = 4,59 * 10 4

  3. Utilizando o mesmo valor de Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0213
  4. Repetindo a iteração:

    V = 2 , 03 m s         e       R e = 3,85 * 10 4

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0222.
  6. Repetindo a iteração:

    V = 1,99 m s         e       R e = 3,77 * 10 4

  7. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0223.

Repetindo a iteração:

V = 1 , 98 s         e       R e = 3,7 6 * 10 4

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão dessa bomba pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,019 2 * 1,98 4                   →                           Q 1 = 5,61 * 10 - 4   m 3 / s                

Passo 4

Opção 2)

D = 0,01 27 m   ,   z 1 → n í v e l   0 e P 2 = P a t m     → P 2 = 0 ( m a n o m é t r i c a )

P 1 = 3 00 k P a     ρ = 999 k g m 3   μ = 1,01 * 10 - 3 N s m   z 2 = 15 m   L = 16 m |   e D = 0,05  

Obs: propriedades da água à 20 0 C , Tabela A.7

Assim como na 1ª opção, as equações: da energia de forma simplificada, do Número de Reynolds e do fator de atrito são as mesmas.

Então, novamente as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  2. f = 0,0 7

    Então, pela iteração:

    V = 1,86 m s         e       R e = 2,36 * 10 4

  3. Utilizando o mesmo valor de Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0725
  4. Repetindo a iteração:

    V = 1,83 m s         e       R e = 2,32 * 10 4

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0725.

Repetindo a iteração:

V = 1,83 m s         e       R e = 2,32 * 10 4

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão dessa bomba pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,01 27 2 * 2,32 4                   →                           Q 2 = 2,32 * 10 - 4   m 3 / s                

Resposta

A opção 1 é mais efetiva que a opção 2, pois Q 1 > Q 2

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