Enunciado

Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável 304 k = 14,9   W / m ⋅ K ,   ρ = 7.900   k g / m 3 ,   c p = 477   J / k g ⋅ K   e   α = 3,95 × 10 - 6   m 2 / s de 35   c m de diâmetro deixa uma estufa a uma temperatura uniforme de 500 ℃ . O eixo é, então, esfriado lentamente em uma câmara a 150 ℃ com coeficiente médio de transferência de calor por convecção h = 60   W / m 2 ⋅ K . Determine a temperatura no centro do eixo 20 minutos após o início do processo de resfriamento. Além disso, determine a transferência de calor por unidade de comprimento do eixo durante esse período.

Passo 1

Dador fornecidos no enunciado:

Diâmetro do cilindro: D = 3 5   c m = 0 , 3 5   m

Condutividade térmica do aço inoxidável:   k = 14,9   W / m ⋅ K

Densidade do aço inoxidável:   ρ = 7.900   k g / m 3  

Calor específico do aço inoxidável:  c p = 477   J / k g ⋅ K  

Difusividade térmica do aço inoxidável:  α = 3,95 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 60   W / m 2 ⋅ K

Temperatura da câmara:  T ∞ = 150 ℃

A temperatura inicial:  T i = 5 00 ℃

Tempo de resfriamento: t = 2 0   m i n = 12 00   s

Suposições:

A condução de calor no eixo é unidimensional devido à simetria térmica em torno da linha central. As propriedades térmicas do eixo são constantes.

O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme em toda a superfície.

O número de Fourier é τ > 0,2  para que as soluções aproximadas de um termo (ou os gráficos de temperatura transitória) sejam aplicáveis ​​(essa suposição será verificada).

Passo 2

Vamos começar calculando o número Biot para este processo. Assim temos:

B i = h r o k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor,  r o é o raio do eixo cilíndrico e k  é a condutividade térmica. Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

B i = 6 0   W / m 2 ⋅ K × 0 , 17 5   m 14,9   W / m ⋅ K

B i = 0,7047

Encontramos que  B i > 0,1 , portanto, a análise do sistema aglomerado não é aplicável.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Fourier usando a seguinte relação:

τ = α t r o 2

Aqui  α é a difusividade térmica do aço inoxidável 304. Substituindo pelos valores fornecidos, temos:

τ = 3,95 × 10 - 6   m 2 / s   × 1200   s 0,175   m 2

τ = 0,155

Isso está muito próximo do valor de 0,2 .

Portanto, a solução aproximada de um termo (ou os gráficos de temperatura transitória) é aplicável com um erro de mais de 2%.

Passo 4

Podemos resolver o problema usando a relação de solução de termo único. Para isso, precisamos obter os valores dos coeficientes  λ 1 A 1 para um cilindro da tabela 4-2 correspondente ao número de Biot obtido. Para este número Biot, precisamos fazer uma interpolação.

λ 1 0,7047 = 1,0873 + 1,1490 - 1,0873 × 0,7047 - 0 , 7 0 , 8 - 0 , 7

λ 1 0,7047 = 1,0902

A 1 0,7047 = 1,1539 + 1,1724 - 1,1539 × 0,7047 - 0 , 7 0 , 8 - 0 , 7

A 1 0,7047 = 1,1548

Passo 5

Então, a temperatura na superfície do cilindro pode ser encontrada com a aplicação da seguinte equação:

T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os valores fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

T x , t - 150 ℃ 500 ℃ - 150 ℃ = 1,1548 × e - 1,0902 2 × 0,155

T x , t = 150 ℃ + 35 0 ℃ × 0,9607

T x , t = 486,25 ℃

Portanto, a temperatura no centro do eixo 20 minutos após o início do processo de resfriamento é  486,25 ℃ .

Passo 6

Para determinar o calor máximo que pode ser transferido do cilindro por metro de seu comprimento, podemos começar calculando a massa do cilindro de aço inoxidável por metro de seu comprimento.

m = ρ V

m = ρ π r o 2 L

m L = ρ π r o 2

Substituindo os termos na equação acima, temos:

m L = 7.900   k g / m 3 π 0,175   m 2

m L = 760,069   k g / m

Podemos calcular o calor máximo transferido do cilindro da seguinte maneira:

Q m á x = m c p T i - T ∞

Substituindo os termos fornecidos temos:

Q m á x = 760,069   k g / m × 477   J / k g ⋅ K × 500 ℃ - 150 ℃

Q m á x = 126.893.531,675   J / m

Q m á x = 126.893 , 53 2   k J / m

Passo 7

Para calcular a transferência de calor real, precisamos obter o valor de J 1 λ 1  para λ 1 = 1,0902 . Da tabela "As funções zeroth e Bessel de primeira ordem do primeiro tipo" uma interpolação entre η = 1,0 e η = 1,1 , temos que: 

J 1 1,0902 = 0,4400 + 0,4709 - 0,4400 × 1,0902 - 1,0 1,1 - 1,0

J 1 1,0902 = 0,4679

Agora, podemos calcular a transferência de calor real da seguinte maneira:

Q Q m á x = 1 - 2 Q o , c i l i n d r o J 1 λ 1   λ 1

Podemos reescrever da seguinte maneira:

Q = Q m á x 1 - 2 T o - T ∞ T i - T ∞ J 1 λ 1   λ 1

Substituindo os valores pelos valores fornecidos no enunciado e encontrados nos passos anteriores, temos:

Q = 126.893,532   k J / m 1 - 2 × 486,25 ℃ - 150 ℃ 500 ℃ - 150 ℃ × 0,4679   1,0902

Q = 22 . 254,313   k J / m

Portanto, a transferência de calor por unidade de comprimento do eixo é  22.254,313   k J / m .

Nota: A ligeira variação na resposta final para a transferência de calor por unidade de comprimento é devida a arredondamentos, se você usar os valores exatos e obter a resposta exata.

Resposta

T x , t = 486,25 ℃

Q = 22.254,313   k J / m

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