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A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude y ( x ,   t ) de uma viga simples é dada por

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

em que

ρ = massa específica do material da viga

A = área da seção transversal

I = momento de inércia de área

E = módulo de Young

Use apenas as grandezas ρ , E e A para adimensionalizar y , x e t e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?

Passo 1

Para resolver esta questão basta adimensionalizar as variáveis utilizando as constantes de escala dadas no exercício. A adimensionalização de x e y é simples, basta os dividirmos pela raiz de A :

x * = x A ;

y * = y A ;

Para o tempo vamos precisar falar uma análise das constates de escala. A dimensão de t é { T } , e olhando para as constantes de escala vemos que a dimensão tempo aparece apenas no módulo de Young (o módulo de Young possui as mesmas dimensões que a pressão) M L T 2 . De cara podemos observar que precisaremos aplicar a raiz quadrada, mas e em relação às outras dimensões? Bom, precisaremos dar um jeito nelas utilizando ρ e A . Se fizermos o produto ρ * A a dimensão obtida é M L 3 * L 2 = M L , opaaa, se multiplicarmos E pelo inverso de ρ * A e em seguida aplicamos a raiz, vamos ter um parâmetro com dimensão 1 T :

M L T 2 M L = 1 T 2 = 1 T

Sendo assim, é só multiplicar por t :

t * = t E ρ A

Passo 2

Substituindo os parâmetros na equação dada no problema pelos parâmetros adimensionais:

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

ρ A ∂ 2 A y * ∂ ρ A E t * 2 + E I ∂ 4 A y * ∂ ( A x * ) 4 = 0

ρ A A ρ A E ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I A A 2 ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

E A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I A A 2 ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

Dividindo todos os termos por E A :

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

Passo 3

Neste caso ainda permaneceram parâmetros, o termo I A 2 .

Para resolver isto, vamos precisar utilizar o I (que possui dimensão { L 4 } ) na hora de adimensionalizar nossas variáveis, podemos fazer a seguinte adimensionalização:

x * = x I 1 4 ;

y * = y A ;

t * = t E ρ A

Sendo assim, a equação adimensionalizada seria:

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

ρ A ∂ 2 A y * ∂ ρ A E t * 2 + E I ∂ 4 A y * ∂ I 1 4 x * 4 = 0

ρ A A ρ A E ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I A I ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

E A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E A ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

Dividindo todos os termos por E A :

∂ 2 y * ∂ t * 2 + ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

Resposta

A equação adimensionalizada com as grandezas especificadas é:

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ ( x * ) 4 = 0

Parâmetros permanecem I A 2 , mas podem ser eliminados com manipulações adicionais de variáveis x * = x I 1 4 .

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