Enunciado

Para o escoamento do Problema 4.17, obtenha uma expressão para o fluxo de energia cinética, ∫ ( V 2 2 )   ρ V → d A → , através da seção normal ao eixo do tubo.

Passo 1

Essa questão é uma dedução através da figura, agora para um fluxo de energia. Tudo o que temos é um volume de controle com distribuição linear de velocidade em um tubo. Então é necessário determinar a taxa de fluxo de energia cinética, aplicando a expressão para fluxo de energia cinética.

∫ V 2 2   ρ V → d A →

Passo 2

Considerando um fluxo incompressível, o perfil de velocidade linear se da:

V → = u i ^ = u m a x 1 - r R 2 i ^

O diferencial de área é dado por:

d A = 2 π r d r i ^

Assim, substituindo na expressão do problema, temos

F E C = ∫ 0 R 1 2 u m a x 1 - r R 2 2 ρ u m a x 1 - r R 2 2 π r d r i ^

Aplicando o intervalo de integração de 0 a h :

F E C = ∫ 0 R 1 2 u m a x 2 1 - 2 r R 2 + r R 4 ρ 2 π u m a x 1 - r R 2 r d r

= ∫ 0 R π ρ u m a x 3 1 - 3 r R 2 + r R 4 - r R 6 r d r

= ∫ 0 R π ρ u m a x 3 r - 3 r 3 R 2 + 3 r 5 R 4 - r 7 R 6 d r

= π ρ u m a x 3 r 2 2 - 3 r 4 4 R 2 + 3 r 6 2 R 4 - r 8 8 R 6 0 R           ∴           F E C = 1 8 π ρ u m a x 3 R 2

Resposta

F E C = 1 8 π ρ u m a x 3 R 2

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