Enunciado

No escoamento por um tubo de um fluido muito viscoso, a perda de carga é dada por H P L = 51,87 π 1 π 2 , onde π 1 e π 2 são os adimensionais obtidos de Q = f D , g e v = f v , D , pelo teorema dos π , usando as bases entre parênteses, e L é o comprimento da tubulação.

Desprezando as perdas de carga singulares, determinar:

  1. Os adimensionais pelo teorema dos π , usando as bases dadas;
  2. A velocidade teórica do fluido na tubulação;
  3. A velocidade real do fluido na tubulação;
  4. O coeficiente de perda de carga distribuída.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sabemos que a vazão é uma função do diâmetro do escoamento e da aceleração da gravidade. Logo:

f Q , D , g = π 1

L 3 T - 1 ⋅ L α ⋅ L T - 2 β = L 0 T 0

O que nos leva ao sistema linear:

α + β + 3 = 0

- 2 β - 1 = 0

Portanto:

β = - 0,5

α = - 2,5

Então o primeiro adimensional será:

π 1 = Q D - 2,5 g - 0,5

Passo 2

O segundo adimensional será:

L T - 1 ⋅ L 2 T - 1 α ⋅ L β = L 0 T 0

Resolvendo o sistema linear, temos que:

π 2 = v D v

Passo 3

A velocidade teórica do escoamento é a velocidade calculada desconsiderando as eventuais perdas de carga no sistema. Sendo assim, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre as superfícies do reservatório e a saída do escoamento, considerando que ambos os pontos estão à pressão atmosférica e que o reservatório é de grandes dimensões.

H 1 = H 2

10 = v 2 2 20

v 2 = 14,1   m / s

A velocidade real do escoamento é menor que a velocidade teórica. Neste exercício consideramos apenas as perdas por cargas distribuídas:

H L = 51,87 ⋅ π 1 ⋅ π 2

H L = 51,87 Q D - 2,5 g - 0,5 v D v

Resolvendo encontraremos:

H L = 25,96 v 2

A equação de Bernoulli considerando as perdas fica:

H 1 = H 2 + H

z 1 = v 2 2 2 g + 25,96 v 2 2

v 2 = 0,62   m / s

Passo 4

Para calcular o fator de atrito, vamos utilizar a expressão da perda de carga distribuída com a velocidade real de escoamento:

H = f L D ⋅ v 2 2 2 g

25,96 0,62 2 = f 20 2 ⋅ 10 - 2 ⋅ 0,62 2 20

f = 0,51

Resposta

a )   π 1 = Q D - 2,5 g - 0,5

π 2 = v D v

b )   v 2 = 14,1   m / s

c )   v 2 = 0,62   m / s

d ) f = 0,51  

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