Enunciado

Uma esfera de cobre com 10 mm de diâmetro, inicialmente a uma temperatura uniforme de 50 °C, é colocada no interior de um grande recipiente contendo vapor de água saturado a 1 atm. Usando o método da capacitância global, estime o tempo necessário para que a esfera atinja uma condição de equilíbrio. Qual a quantidade de condensado (kg) formada durante esse período?

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é ir no apêndice A e pegar as propriedades do vapor de água na tabela A.6 para as condições de saturação a uma pressão de 1 atm:

T s a t = 100   ° C

ρ v = 0,596   k g / m 3

h f g = 2257   k J / k g

Agora, vamos analisar a esfera de cobre. Para ela, nós vamos considerar uma temperatura de superfície T s como a média entre a temperatura de saturação e a temperatura dada no enunciado, ou seja:

T s = 100 + 50 2 → T s = 75   ° C

Então, lá da tabela A.1, temos as seguintes propriedades:

ρ c = 8933   k g / m 3

c p , c = 389   J / k g . K

Agora nós precisamos pegar as propriedades do líquido a temperatura de filme. Sabendo que a temperatura de filme é dada pela média entre a temperatura de superfície e temperatura de saturação, então, temos:

T f = T s a t + T s 2 = 100 + 75 2 → T f = 87,5   ° C ≅ 360   K

Então, nessa temperatura, temos as seguintes propriedades de líquido:

ρ l = 967,1   k g / m 3

c p , l = 4203   J / k g . K

μ l = 324 . 10 - 6   N . s / m 2

k l = 0 , 674   W / m . K

Agora nós vamos calcular o calor latente corrigido, que é dado por:

h f g ' = h f g + 0,68 c p , l T s a t - T s

Substituindo os valores conhecidos, temos:

h f g ' = 2257 + 0,68 4,203 ( 100 - 75 ) → h f g ' = 2328,4   k J / k g

Passo 2

Agora, para encontrar o coeficiente convectivo de condensação, precisamos utilizar a equação 10.46, que é dada por:

N u D = h D k l = C ρ l g ρ l - ρ v h f g ' D 3 μ l k l T s a t - T s 1 4

Onde para esfera, temos C = 0,826 . Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

h 0,01 0 , 674 = 0,826 967,1 9,8 967,1 - 0 , 596 ( 2328,4 . 10 3 ) 0,01 3 324 . 10 - 6 0,674 T s a t - T s 1 4

h = 31122,8 1 T s a t - T s 1 4

Agora, aplicando um balanço de energia na esfera, temos que:

E ˙ e - E ˙ s = Δ E ˙

A taxa de calor líquida é dada através da equação de resfriamento de Newton, onde temos:

q = h A s T s a t - T s

E a variação pode ser escrita como:

Δ E ˙ = ρ c c p , c V . d T s d t

Então, substituindo na equação do balanço de energia, temos:

h A s T s a t - T s = ρ c c p , c V . d T s d t → h π D 2 T s a t - T s = ρ c c p , c π D 3 6 . d T s d t

h T s a t - T s = ρ c c p , c D 6 . d T s d t

Substituindo a expressão encontrada para o coeficiente convectivo, chegamos em:

31122,8 1 T s a t - T s 1 4 T s a t - T s = ρ c c p , c D 6 . d T s d t

Passo 3

Agora, o que nós vamos fazer é chamar Δ T = T s a t - T s , dessa forma, teremos:

d T s d t = - d Δ T d t = - d T s a t - T s d t = d T s d t

Pois a temperatura de saturação é constante e não depende do tempo e dessa forma, conseguimos reescrever a equação acima, temos:

31122,8 1 Δ T 1 4 Δ T = - ρ c c p , c D 6 . d Δ T d t

Agora, separando as variáveis, chegamos na seguinte expressão:

31122,8 Δ T 3 4 = - ρ c c p , c D 6 . d Δ T d t

- Δ T - 3 4 d Δ T = 186736,8 d t ρ c c p , c D

Então, integrando essa expressão dos dois lados de t = 0 até t = t e da temperatura inicial até a final, então teremos:

∫ Δ T 0 Δ T - Δ T - 3 4 d Δ T = ∫ 0 t 186736,8 d t ρ c c p , c D

Resolvendo as integrais, temos:

- 4 Δ T 1 4 Δ T 0 Δ T = 186736,8 t ρ c c p , c D 0 t

Substituindo os limites de integração, temos:

- 4 Δ T 1 4 + 4 Δ T 0 1 4 = 186736,8 t ρ c c p , c D

Então, sabendo que o Δ T final é 0, justamente porque queremos atingir o estado de equilíbrio, e que o Δ T 0 = 100 - 50 = 50 , isolando o tempo da equação acima e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t = ρ c c p , c D 186736,8 - 4 Δ T 1 4 + 4 Δ T 0 1 4 = 8933 389 0,01 186736,8 - 4 0 1 4 + 4 50 1 4

t = 1,98   s

Passo 4

Agora, para encontrar a massa total de condensado formada nesse tempo, vamos aplicar o mesmo balanço de energia aplicado anteriormente, só que agora com o intervalo definido entre a temperatura inicial e a temperatura de equilíbrio de 100 °C. Então o equilíbrio será:

E e - E s = Δ E

Então a energia que entra provém da condensação, e esse calor pode ser escrito através da equação 10.34, onde temos:

m = q h f g ' → q = m h f g '

Então, como toda essa energia provém pra mudança de energia da esfera, não temos energia saindo, então a equação acima se torna:

m h f g ' - 0 = ρ c c p , c V T f i n a l - T 0 → m h f g ' = ρ c c p , c π D 3 6 T f i n a l - T 0

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

m 2328.10 3 = 8933 389 π 0,01 3 6 100 - 50

m = 3,91.10 - 5   k g

Resposta

t = 1,98   s

m = 3,91.10 - 5   k g

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