Enunciado

Uma operação de transferência de massa é precedida pelo escoamento laminar de uma espécie gasosa B através de um tubo circular suficientemente longo para que se obtenha um perfil de velocidades plenamente desenvolvido. Uma vez atingida a condição plenamente desenvolvida, o gás entra em uma seção do tubo que se encontra molhada com um filme de um líquido (A). Este filme mantém uma concentração mássica do vapor uniforme ρ A , s ao longo de toda a superfície do tubo.

  1. Escreva a equação diferencial e as condições de contorno que governam a distribuição de concentrações mássicas da espécie A, ρ A x , r , para x > 0 .
  2. Qual é o problema análogo a esse na transferência de calor? Com base nesse análogo, escreva uma expressão para o número de Sherwood médio associado à troca de massa ao longo da região 0 ≤ x ≤ L .
  3. Partindo da utilização do princípio da conservação de uma espécie em um volume de controle diferencial π r e 2 d x , deduza uma expressão (Equação 8.86) que possa ser usada para determinar a concentração mássica média do vapor, ρ A , μ , s a i , em x = L .
  4. Considere condições nas quais a espécie B é o ar, a 25 °C e 1 atm, e o filme líquido é formado por água, também a 25 °C. A vazão mássica é m ˙ = 2,5 ⋅ 10 - 4   k g / s e o diâmetro do tubo é D = 10   m m . Qual é a concentração média do vapor na saída do tubo, se L = 1   m m ?

Passo 1

Eita! Muitas letras para resolvermos. Chega cansa uma questão dessa!

Precisamos começar devagar. Assim, vamos pela letra a).

Ela nos pede para determinarmos a equação diferencial para o nosso problema.

O interessante é que essa equação é bem semelhante a uma equação que já vimos antes. Ela é a seguinte equação diferencial para determinação da distribuição de temperatura:

u ∂ T ∂ x = α r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r

E qual é a mudança que temos que fazer? São duas: o termo de difusividade, da térmica α para mássica D A B e a variável no termo diferencial, da temperatura para a concentração ρ A .

Sendo assim, temos a seguinte equação diferencial:

u ∂ ρ A ∂ x = D A B r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r

E as condições de contorno ao qual o nosso problema está submetido são:

ρ A 0 , r = 0

ρ A x , r e = ρ A , s

∂ ρ A x , 0 ∂ r = 0

E assim terminamos a letra a).

Passo 2

Agora, temos que encontrar uma expressão para o número de Sherwood médio. Para isto, precisamos entender qual é o problema análogo a esse na transferência de calor.

Como o contato com o filme líquido é após o desenvolvimento completo da camada hidrodinâmica, temos um problema de comprimento de entrada térmico.

Então, já sabemos qual é a relação para o número de Nusselt que devemos utilizar. Ela é:

N u - = 3,66 + 0,0668 D L R e P r 1 + 0,04 D L R e P r 2 / 3

Agora, basta mudarmos o número de Nusselt pelo número de Sherwood e o número de Prandtl pelo número de Schmidt.

S h - = 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

Passo 3

Nosso trabalho agora é obter uma equação para determinar a concentração média de saída. Para este problema, auxilia muito um simples diagrama de um volume de controle, definindo quais os termos que “entram” no volume e quais que “saem”. Então,

Bom, o que temos ai em cima é: na seção transversal, entra uma vazão mássica de ρ A , μ u m A c , e sai uma vazão mássica de ρ A , μ + d ρ A , μ u m A c . Notem quem temos vazão constante, por isto não diferenciamos a relação velocidade x área transversal da entrada e da saída.

Só que nós não temos apenas este termo. Temos um termo d n A “entrando” no volume de controle também. Este termo é devido a diferença entre o líquido ou sólido com densidade ρ A , s pelo gás ρ A , μ que sai pela superfície lateral. Portanto, podemos descrever este termo da seguinte forma:

d n A = h m ρ A , s - ρ A , μ d A

d n A = h m ρ A , s - ρ A , μ P d x

Agora que discutimos todos os termos que estarão no nosso balanço de massa, vamos fazê-lo então! Sendo assim, se a massa que entra é igual a massa que sai, temos:

ρ A , μ u m A c + ρ A , s - ρ A , μ P d x = h m ρ A , μ + d ρ A , μ u m A c

ρ A , s - ρ A , μ P d x = h m d ρ A , μ u m A c

Na equação que estamos buscando aparece o termo m ˙ . Então, vamos fazer ele aparecer ai em cima. Para isto, basta lembrar que:

m ˙ ρ = u m A c

Então,

ρ A , s - ρ A , μ P d x = h m d ρ A , μ m ˙ ρ

Se separarmos os termos diferenciais, temos:

d ρ A , μ ρ A , s - ρ A , μ = h m ρ P m ˙ d x

Agora, só nos resta integrarmos a equação diferencial acima. Se integrarmos do ponto inicial ( x = 0 e ρ A , μ = ρ A , μ , e n t ) até o ponto final ( x = x e ρ A , μ = ρ A , μ x ) , teremos:

∫ ρ A , μ , e n t ρ A , μ x d ρ A , μ ρ A , s - ρ A , μ = ∫ 0 x h m ρ P m ˙ d x

∫ ρ A , μ , e n t ρ A , μ x d ρ A , μ ρ A , s - ρ A , μ = ρ P m ˙ ∫ 0 x h m d x

- ln ⁡ ρ A , s - ρ A , μ ρ A , μ , e n t ρ A , μ x = ρ P m ˙ h - m x

ln ⁡ ρ A , s - ρ A , μ x ρ A , s - ρ A , μ , e n t = - h - m ρ P m ˙ x

Para tornarmos exatamente igual a Equação 8.86, basta aplicar a função exponencial em ambos os membros. Com isto, obtemos:

ρ A , s - ρ A , μ x ρ A , s - ρ A , μ , e n t = e - h - m ρ P m ˙ x

E assim, temos uma relação para calcular ρ A , μ , s a i . Basta substituir x = L na relação acima.

Passo 4

Agora, vamos finalizar a questão com chave de ouro! Vamos utilizar as relações que desenvolvemos anteriormente para obtermos a concentração média do vapor na saída do tubo.

Para conseguir isto, vamos precisar do coeficiente de convecção de massa h - m . E para este, vamos precisar do número de Reynolds.

Bom, independentemente do que vamos calcular, vamos precisar de algumas propriedades do ar, da água e da mistura ar + vapor. Então, vamos aproveitar para determinar tudo de uma vez só.

Para o ar, que está a 1 atm e 298 K, temos, da Tabela A.4: ρ a r = 1,1707   k g / m 3 , μ a r = 183,6 ⋅ 10 - 7   N ⋅ s / m 2 , ν a r = 15,71 ⋅ 10 - 6   m 2 / s .

Da água, vamos aproximar a sua densidade pela de vapor saturado a 298 K. Então, da tabela A.6, temos ρ A , s = 0,0266   k g / m 3 .

Para finalizarmos esta parte das tabelas, para a mistura de ar + vapor, temos: D A B = 26 ⋅ 10 - 6   m 2 / s e S c = ν D A B = 15,71 26 = 0,604 .

Passo 5

Agora sim, podemos partir para os cálculos. Primeiro, começaremos pelo número de Reynolds, temos:

R e = 4 m ˙ π D μ a r = 4 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 4 π ⋅ 0,01 ⋅ 183,6 ⋅ 10 - 7 = 1734

Agora, vamos calcular o coeficiente convectivo h - m através da relação para o número de Sherwood que encontramos anteriormente. Sendo assim, temos:

S h - = h - m D D A B = 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

h - m = D A B D ⋅ 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

Substituindo os valores das constantes:

h - m = 26 ⋅ 10 - 6 0,01 ⋅ 3,66 + 0,0668 0,01 1 1734 ⋅ 0,604 1 + 0,04 0,01 1 1734 ⋅ 0,604 2 / 3

h - m = 0,011   m / s

Agora sim, podemos calcular a concentração na saída do tubo. Usando a relação que obtivemos no final do Passo 3, temos:

ρ A , s - ρ A , μ x ρ A , s - ρ A , μ , e n t = e - h - m ρ P m ˙ x

0,0226 - ρ A , μ 1 0,0226 - 0 = e - 0,011 ⋅ 1,1707 ⋅ π ⋅ 0,01 2,5 ⋅ 10 - 4

ρ A , μ , s a i = ρ A , μ 1 = 0,0181   k g / s

Resposta

  1. A equação diferencial é:
  2. u ∂ ρ A ∂ x = D A B r ∂ ∂ r r ∂ ρ A ∂ r

    As condições de contorno são:

    ρ A 0 , r = 0

    ρ A x , r e = ρ A , s

    ∂ ρ A x , 0 ∂ r = 0

  3. S h - = 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

  4. Relação desenvolvida no Passo 3.

ρ A , μ , s a i = ρ A , μ 1 = 0,0181   k g / s

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