Enunciado

Uma panela é usada para ferver água. Ela é colocada sobre um fogão, a partir do qual calor é transferido a uma taxa fixa q o . Há dois estágios no processo. No Estágio 1, a água é levada de sua temperatura inicial (ambiente) T i até o ponto de ebulição, quando calor é transferido da panela para a água por convecção natural. Durante esse estágio pode-se admitir um valor constante do coeficiente de transferência de calor h , enquanto a temperatura média da água aumenta com o tempo, T ∞ = T ∞ ( t ) . No Estágio 2, a água encontra-se em ebulição e sua temperatura mantém-se em um valor fixo, T ∞ = T e b , enquanto o fornecimento de calor continua. Considere uma base de panela com espessura L e diâmetro D , com um sistema de coordenadas no qual x = 0 e x = L nas superfícies em contato com o fogão e com a água, respectivamente.

(a) Escreva a forma da equação do calor e as condições inicial e de contorno que determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo, T ( x ,   t ) , na base da panela ao longo do Estágio 1. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros q o , D , L , h e T ∞ , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

(b) Durante o Estágio 2, a superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura fixa, T ( L ,   T ) = T L > T e b . Escreva a forma da equação do calor e as condições de contorno que determinam a distribuição de temperaturas, T ( x ) , na base da panela. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros q o , D , L e T L , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

Passo 1

Bora resolver essa questão!

Então, se ajeita na cadeira e vem comigo!

Letra a)

Aqui, queremos a equação de calor para o Estagia 1 proposto, então ela pode ser colocada da seguinte maneira:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Temos que as condições de contorno são:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' ' = q o π D 2 4

e

- k ∂ T ∂ x x = L = h T L , t - T ∞ t

E a condição inicial:

T x , 0 = T i  

Passo 2

Letra b)

Aqui, para o Estágio 2, temos a seguinte equação de calor:

∂ 2 T ∂ x 2 = 0  

E as condições de contorno:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' '

E

T L = T L

Até a próxima questão!

Resposta

a )   ∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t ;

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' ' = q o π D 2 4 ;

  - k ∂ T ∂ x x = L = h T L , t - T ∞ t ;

T x , 0 = T i .  

b )   ∂ 2 T ∂ x 2 = 0 ;

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' ' ;

T L = T L .

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