Enunciado

Estenda o Problema P3.92 para incluir o atrito na parede devido a uma tensão de cisalhamento média linear (laminar) na forma τ ≈ c V , em que c é uma constante. Encontre a equação diferencial para dV/dt e então resolva V(t), considerando, para simplificar, que a área da parede permanece constante.

Passo 1

Bora bora!

Temos do problema P3.92 as seguintes equações:

m 1 d V d t = Δ p A + ρ g A h  

m 2 d V d t = - Δ p A

Assim, adicionando o atrito nas paredes, teremos:

m 1 d V d t = Δ p A + ρ g A h - c V π D h

m 2 d V d t = - Δ p A - c V π D h

Passo 2

Vamos somar as duas equações, dividindo o resultado por ρ A , sendo A = π 4 D 2 , rearranjando tudo para uma EDO linear de primeira ordem, assim:

d V d t + 4 c ρ D V = g h L + h

Resolvendo essa EDO com t = 0 e h = h o , teremos que, V = 0 .

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