Enunciado

A haste de madeira redonda uniforme de 5 m de comprimento da Figura P2.112 está presa ao fundo por um fio. Determine (a) a tração no fio e (b) a densidade da madeira. É possível, com as informações dadas, determinar o ângulo de inclinação theta? Explique.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nesse problema, temos uma haste de madeira redonda uniforme de 5   m de comprimento e diâmetro D =   8   c m , presa ao fundo por um fio, como mostra a figura que ilustra o problema.

Além disso, pra entender melhor o problema, dá uma olhadinha no esquema abaixo:

Na figura acima, estão expostas as forças envolvidas no problema: o empuxo E o peso W da haste de madeira e a tensão T que prende a haste.

O enunciado nos pede para calcular a tensão do fio e também a densidade d da madeira. Pra fazer isso, devemos fazer um balanço com essas três forças:

T = E - W

Ou seja, a tensão no fio deve ser suficiente para impedir que a madeira flutue.

Nos próximos passos, e vou te ensinar a calcular o empuxo E o peso W e com eles calcular T e d .

Vem comigo pra resolver a questão!

Passo 2

Pra começo de conversa, nós não temos com calcular o peso W diretamente. Porém, temos calculá-lo se fizermos um balanço de momento das forças peso e empuxo com relação ao fio que prende a haste.

Como a barra está fixa, isso significa dizer que o somatório de momento das forças aplicadas no fio é zero. Ou seja, nosso balanço de momentos é:

∑ M f i o = W × l W + E × l E = 0

Sendo: l W e l E as linhas de aplicação com relação ao fio do peso e do empuxo, respectivamente.

Pra saber como calcular as linhas de aplicação, vamos ver esse outro esquema do problema:

Como você pode ver pela figura, podemos calcular as linhas de aplicação a partir a partir de relações trigonométricas.

Primeiro, devemos lembrar que segundo o enunciado a haste de madeira é uniforme. Portanto, podemos considerar que todo o peso e o Empuxo estão concentrados em um ponto: no caso do peso, no meio da haste, e do empuxo, no meio da parte submersa.

Dessa forma, podemos definir a distância de aplicação da força peso W com relação ao fio será 5   m 2 cos ⁡ θ e a distância de aplicação do empuxo E será 4   m 2 cos ⁡ θ .

Para resolver o balanço de momento, devemos calcular o valor do empuxo a partir da equação abaixo:

E = γ V d e s l  

Sendo: γ = 9790   N / m ³ o peso específico da água; e V d e s l o volume de haste submersa.

Logo, o empuxo é igual a:

E = 9790   N / m ³ π 4 0,08   c m 2 4   m = 196,8   N

Agora, podemos substituir esses valores no balanço de momento:

W × 5   m 2 cos ⁡ θ + 196,8   N × 4   m 2 cos ⁡ θ = 0

W = 393,6   cos ⁡ θ 2,5 cos ⁡ θ = 157,4   N

Como vocês podem ver pelo resultado acima, não é possível calcular o ângulo θ pois ele se cancela no balanço de momento.

Passo 3

Agora, já podemos calcular a tração T no fio voltando pra aquela equação que eu te mostrei lá no Passo 1:

T = B - W

  T = 196,8   N - 157,4   N

T = 39,4   N

Pronto, agora só falta um passo pra gente terminar!

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo calcular a densidade d da barra. Pra isso, vamos definir a equação para cálculo da força peso:

W = d γ V h a s t e

Sendo V h a s t e = π 4 0,08   m 2 5   m = 0,025   m ³ é o volume de toda a haste de maneira.

Sendo assim, podemos calcular a densidade da haste de madeira:

d = W γ V h a s t e = 157,4   N 9790   N / m ( 0,025   m ³ )   = 0,64  

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A tração no fio é T = 39,4   N

(b) A densidade da madeira é d   = 0,64  

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