Enunciado

A comporta ABC na Figura P2.98 tem um quarto de círculo com 2,4 m de largura normal ao papel. Calcule as forças hidrostáticas horizontal e vertical sobre a comporta e a linha de ação da força resultante.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma comporta no formato de um arco de círculo, com um raio de 1,2   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) b =   2,4   m .

A questão quer da gente as componentes horizontal ( F H ) e vertical ( F V ) da força hidrostática que age sobre a comporta, além da linha de ação da força resultante.

Nos próximos passos, eu vou te mostrar como calcular essas forças e a linha de ação. Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base b = 2,4   m e altura c .

Essa altura c é a chamada corda do segmento circular, que é dada pela fórmula c = R 2 - 2 cos ⁡ θ . Portanto, seu valor é:

e c = 1,2   m 2 - 2 cos ⁡ 90 ° = 1,70   m

Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G = c / 2 a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 1,70 2   m   1,70   m × 2,4   m = 33.952   N  

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V .

Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da do que se chama peso da água “ausente”, ou seja, o peso que a água exerceria se o segmento de círculo estivesse preenchido com o fluido. A força F V age justamente de maneira a compensar esse peso ausente.

Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:

Note que para este tipo de aplicação, a componente vertical da força hidrostática irá apontar para cima.

Para prosseguir com nossos cálculos, iremos precisar calcular a área do segmento de círculo A S C . Para isso, considere a imagem abaixo:

Seja R o raio do segmento de círculo e c = 1,70   m é o comprimento da corda. Para a comporta do problema, sabemos que R = 1,2   m .

Dessa maneira, a área A S C , por definição, é calculada como:

A S C = R 2 2 θ - sen ⁡ θ = ( 1,2   m ) ² 2 π 2 - 1 = 0,41   m ²  

Agora sim, podemos calcular F V :

F V = γ A S C b = 9790   N m 3 0,41   m ²   2,4   m = 9.633   N

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular a resultante da força hidrostática e sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes F H e F V encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante F   a partir do módulo dessas componentes:

F =   F H 2 + F V 2 = 33.952   N 2 + 9.633   N 2 = 35.292   N

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo α entre F H (eixo horizontal) e F :

t g α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = F V F H = 9.633   N   33.952   N = 0,2837  

→   α = a r c t g 0,2837 = 15,83 °

Ou seja, a linha de ação da força F faz um ângulo de 15,83 ° com a horizontal, passando pelo ponto O .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

As componentes horizontais e verticais da força resultante foram, respectivamente, F H = 33.952   N   e F V = 9.633   N .

A força hidrostática resultante é F = 35.292   N , com sua linha de ação fazendo um ângulo de 15,83 ° com a horizontal passando pelo ponto O .

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