Enunciado

Um valente grupo de caçadores de tesouros descobriu uma caixa de aço, contendo dobrões de ouro e outros valores, sob uma profundidade de 24 m no mar. Eles calculam que o peso da caixa e do tesouro (no ar) seja de 31.150 N. O plano deles é prender a caixa a um balão robusto, inflado com ar a uma pressão de 3 atm. O balão vazio pesa 1.112,5 N. A caixa tem 0,6 m de largura, 1,5 m de comprimento e 45 cm de altura. Qual é o diâmetro adequado do balão para garantir uma força de sustentação para cima na caixa que seja 20% maior do que a necessária?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nessa questão temos uma caixa com dimensões 0,6   m × 1,5   m × 0,45   m e peso 31.150   N , no fundo do mar (cuja densidade é d m a r = 1,025 ). Os exploradores então encheram um balão (que vazio pesa 1.112,5   N ) com ar pressurizado, a fim de levar a caixa até a superfície.

A questão pede que a gente encontre o diâmetro adequado para que o balão esférico suporte garanta uma sustentação 20% que a força necessária para que o balão leve a caixa para cima.

Essa força citada é na verdade a Força líquida, dada pela diferença entre o peso da caixa e o empuxo proporcionado pela água do mar.

Teremos, então, a seguinte equação:

F l í q u i d a = W c a i x a - d m a r γ V c a i x a  

Sendo: γ = 9790   N / m ³ o peso específico da água; V c a i x a o volume da caixa e W c a i x a o peso da caixa.

Nos próximos passos, eu ou te ensinar a calcular essa força líquida e usá-la para encontrar o diâmetro do balão! Vem comigo!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular o volume da caixa:

V c a i x a = 0,6   m × 1,5   m × 0,45   m = 0,405   m ³  

De posse do volume da caixa, podemos calcular a força líquida:

F l í q u i d a =   31 150   N - 1,025 9790 N m 3 0 , 405   m 3

F l í q u i d a =   27086   N

Passo 3

Pra finalizar a questão, devemos agora fazer mais um balanço, agora considerando o balão. Como afirma o enunciado, queremos que o diâmetro garanta uma força 20% maior eu a força líquida necessária para elevar o balão.

Sendo assim, o balanço de forças no balão será:

1,2 F l í q u i d a = E b a l ã o - W b a l ã o = d m a r γ V b a l ã o - W b a l ã o

Sendo V b a l ã o = π 6 D ³ o volume do balão; e W b a l ã o = 1 112,5   N   o peso do balão vazio.

Substituindo os valores, ficamos com:

1,2 27086   N = 1,025 9790 N m 3 π 6 D ³ - 1 112,5   N

D = 1,86   m

Pronto, matamos o problema juntos!

Resposta

O diâmetro adequado do balão para garantir uma força de sustentação para cima na caixa é D = 1,86   m

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