Enunciado

No exemplo 3.6 foi deduzida uma expressão para o raio crítico do isolante em um tubo cilíndrico isolado. Desenvolva a expressão que seria apropriada para uma esfera isolada.

Passo 1

Vamos começar relembrando o conceito de raio crítico. Quando utilizamos uma camada de isolante, aumentamos o raio da esfera. Certo?

Como o raio aumenta, a área superficial da esfera também aumenta. Assim, a taxa de transferência de calor por convecção também irá aumentar:

q c o n v = h A s ∆ T

q c o n v = h 4 π r 2 2 ( T s , 2 - T ∞ )

Tudo bem?

Por outro lado, quando aumentamos o raio, a taxa de transferência de calor por condução diminui:

q c o n d = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

Certo?

Como o raio impacta de maneiras diferentes nas transferências de calor por condução e convecção, deve existir um ponto ótimo em que o raio minimiza a transferência de calor total. Este ponto é o raio crítico.

Passo 2

Agora que relembramos o conceito de raio crítico vamos obter uma relação para o raio crítico do isolante para uma casca cilíndrica. Tomando o exemplo 3.6 como referência, vamos começar calculando as resistências térmicas do sistema.

R c o n v = ( T s , 2 - T ∞ ) q c o n v

R c o n v = 1 h 4 π r 2 2

E

R c o n d = T s , 1 - T s , 2 q c o n d

R c o n d = 1 r 1 - 1 r 2 4 π k

Então a resistência total do sistema é:

R T = R c o n v + R c o n d

R T = 1 h 4 π r 2 2 + 1 r 1 - 1 r 2 4 π k

R T = 1 h 4 π r 2 2 + 1 / r 1 4 π k - 1 / r 2 4 π k

Passo 3

Agora que encontramos a resistência total do sistema, vamos encontrar o raio crítico. Quando r 2 = r c r í t i c o , a resistência é máxima. Então, vamos agora derivar a equação de resistência em relação a r 2 e igualar a zero para definir o ponto de máximo:

d R T d r 2 = 0

d d r 2 ( 1 h 4 π r 2 2 + 1 / r 1 4 π k - 1 / r 2 4 π k )   = 0

1 4 π h - 2 r 2 3 - 1 4 π k - 1 r 2 2 = 0

1 h - 2 r 2 3 + 1 k 1 r 2 2 = 0

2 h r 2 3 = 1 k r 2 2

r 2 = 2 k h

r c r í t i c o = 2 k h

Resposta

Para uma esfera isolada, r c r í t i c o = 2 k h .

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