142. Passagens aletadas são frequentemente formadas entre placas paralelas para melhorar a transferência de calor por convecção no núcleo de trocadores de calor compactos. Uma importante aplicação é no resfriamento de equipamentos eletrônicos, onde uma ou mais estantes de aletas, resfriadas a ar, são colocadas entre componentes eletrônicos que dissipam calor. Seja uma única estante de aletas retangulares, com comprimento L e espessura t , com condições de transferência de calor por convecção correspondente a h e T_infinito .

(a) Obtenha expressões para as taxas de transferência de calor nas aletas, q_(a,e) e qa,L , em termos das temperaturas nas extremidades, T_e e T_L .

(b) Em uma aplicação específica, uma estante de aletas, com 200 mm de largura e 100 mm de profundidade, contém 50 aletas de comprimento L = 12 mm . A estante completa é feita em alumínio e todas as placas possuem espessura de 1,0 mm . Se limitações de temperatura associadas aos componentes elétricos fixados às placas opostas ditam que as temperaturas máximas permitidas nestas placas são de Te = 400 K e TL = 350 K , quais são as dissipações máximas de potência correspondentes se h = 150 W / (m^2 \* K) e T_∞ = 300 K ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente encontre as expressões para as taxas de transferência de calor nas aletas e as dissipações máximas de potência correspondentes aos dados.

Para isso, nós vamos fazer a análise de transferência de calor em aletas com as condições de contorno de temperatura fixas.

Então, nós vamos usar a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura θ ( x ) em uma aleta de seção transversal constante:

d 2 θ d t 2 - m 2 θ = 0

Onde m é o parâmetro da aleta, que incorpora h , P , k e A c .

A partir dela, vamos determinar uma solução geral e usar as condições de contorno de temperatura, para determinar as constantes da equação encontrada. Além disso, as expressões para as taxas de transferência de calor, q a , e e q a , L , vão ser obtidas aplicando a Lei de Fourier ( q a = - k A c d θ d x ) nas respectivas posições ( x = 0 e x = L ).

Em seguida, vamos substituir os dados numéricos nas expressões obtidas e fazer o cálculo do calor total dissipado.

Vamos lá!

Passo 2

a) Vamos começar considerando a solução geral para a distribuição de temperatura da aleta da seguinte forma:

θ x = C 1 e m x + C 2 e - m x

Com T - T ∞ expressa em funções hiperbólicas, vamos ter:

T x - T ∞ = C 1 e m x + C 2 e - m x

Aqui,  C 1 C 2 são constantes,  m  é um parâmetro.

Considerando a seguinte condição de limite em  x = 0 :

θ 0 = T 0 - T ∞

θ 0 = θ 0

Aplicamos a condição de limite à solução geral da seguinte maneira:

θ 0 = C 1 e m 0 + C 2 e - m 0

θ 0 = C 1 + C 2       ( 1 )

Agora considerando a condição de contorno x = L , vamos ter:

θ L = T L - T ∞

θ L = θ L

E aplicando a condição de contorno à solução geral, temos:

θ L = C 1 e m L + C 2 e - m L

θ L = C 1 e m L + C 2 e - m L       ( 2 )

Passo 3

Então, resolvendo as equações ( 1 ) e ( 2 ) para obter os valores de  C 1   C 2 , vamos ter:

C 1 = θ L - θ 0 e - m L e m L - e - m L

C 2 = θ 0 e m L - θ L e m L - e - m L

E substituindo os valores de  C 1   C 2 na solução geral para obter a distribuição de temperatura:

θ x = θ L - θ 0 e - m L e m L - e - m L e m x + θ 0 e m L - θ L e m L - e - m L e - m x

θ x = θ L e m x - e - m x + θ 0 e m L - x - e - m L - x e m L - e - m L

θ x = θ L sinh ⁡ m x + θ 0 sinh ⁡ m ( L - x ) sinh ⁡ m L

Diferenciando essa expressão dos dois lados, temos:

d θ x d x = m θ L cosh ⁡ m x sinh ⁡ m L - m θ 0 cosh ⁡ m L - x sinh ⁡ m L

d T d x = m sinh ⁡ m L [ θ L cosh ⁡ m x θ 0 - cosh ⁡ m L - x ]

Passo 4

Agora considerando a taxa de transferência de calor da Lei de Condução de Fourier da seguinte forma:

q f = - k A c d T d x

Temos:

q f = - k D t ( m sinh ⁡ m L θ L cosh ⁡ m x - θ 0 cosh ⁡ m L - x ]

Substitua x = 0 na equação:

q f , 0 = m k D t sinh ⁡ m L θ cosh ⁡ m L - θ L  

Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor da aleta em  x = 0 é  q f , 0 = m k D t sinh ⁡ m L θ cosh ⁡ m L - θ L .

E substitua x = L na equação, vamos obter:

q f , L = m k D t sinh ⁡ m L θ 0 - θ L cosh ⁡ m L  

Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor da aleta em  x = L é  q f , L = m k D t sinh ⁡ m L θ 0 - θ L cosh ⁡ m L .  

Passo 5

b) Agora vamos obter a condutividade térmica do alumínio na tabela A . 1 , “Propriedades termo-físicas de sólidos metálicos selecionados” na temperatura de 375   K , de modo que:

k A l = 237 W m . K

Assim, calculando o valor do parâmetro m , teremos:

m = h P k A c

m = h ( 2 t + 2 D ) k ( D t )

m = 35,53   m - 1

E calculando a taxa de transferência de calor da aleta  x = 0   usando a seguinte relação:

q f , 0 = m k D t sinh ⁡ m L θ cosh ⁡ m L - θ L

Temos:

q f , 0 = m k D t sinh ⁡ m L T 0 - T ∞ cosh ⁡ m L - T L - T ∞

q f , 0 = 114,95   W

Passo 6

Agora calculando a dissipação máxima de energia da placa superior, usando a equação:

q f , 0 , m á x = N f q f , 0 + W - N f t D h θ 0

E substituindo os valores, temos:

q f , 0 , m á x = 50 × 114,95 + 0,2 - 50 × 0,001 × 0,1 × 150 × 400 - 300

q f , 0 , m á x = 5972,5   W

Portanto, a dissipação máxima de energia da placa superior é  5972,5   W   .

De maneira semelhante, vamos calcular a dissipação máxima de energia da placa inferior da seguinte forma:

q f , L , m á x = N f q f , L + W - N f t D h θ 0

Substituindo os valores, temos:

q f , L , m á x = 50 × 88,095 + 0,2 - 50 × 0,001 × 0,1 × 150 × 350 - 300

q f , L , m á x = - 4292,25   W

Portanto, a dissipação máxima de energia da placa inferior é  - 4292,25   W .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) q f , 0 = m k D t sinh ⁡ m L θ cosh ⁡ m L - θ L , q f , L = m k D t sinh ⁡ m L θ 0 - θ L cosh ⁡ m L

b) 5972,5   W     e - 4292,25   W

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