142. Passagens aletadas são frequentemente formadas entre placas paralelas para melhorar a transferência de calor por convecção no núcleo de trocadores de calor compactos. Uma importante aplicação é no resfriamento de equipamentos eletrônicos, onde uma ou mais estantes de aletas, resfriadas a ar, são colocadas entre componentes eletrônicos que dissipam calor. Seja uma única estante de aletas retangulares, com comprimento e espessura , com condições de transferência de calor por convecção correspondente a e .

(a) Obtenha expressões para as taxas de transferência de calor nas aletas, e , em termos das temperaturas nas extremidades, e .
(b) Em uma aplicação específica, uma estante de aletas, com mm de largura e mm de profundidade, contém aletas de comprimento . A estante completa é feita em alumínio e todas as placas possuem espessura de . Se limitações de temperatura associadas aos componentes elétricos fixados às placas opostas ditam que as temperaturas máximas permitidas nestas placas são de e , quais são as dissipações máximas de potência correspondentes se e ?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente encontre as expressões para as taxas de transferência de calor nas aletas e as dissipações máximas de potência correspondentes aos dados.
Para isso, nós vamos fazer a análise de transferência de calor em aletas com as condições de contorno de temperatura fixas.
Então, nós vamos usar a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura em uma aleta de seção transversal constante:
Onde é o parâmetro da aleta, que incorpora , , e .
A partir dela, vamos determinar uma solução geral e usar as condições de contorno de temperatura, para determinar as constantes da equação encontrada. Além disso, as expressões para as taxas de transferência de calor, e , vão ser obtidas aplicando a Lei de Fourier () nas respectivas posições ( e ).
Em seguida, vamos substituir os dados numéricos nas expressões obtidas e fazer o cálculo do calor total dissipado.
Vamos lá!
Passo 2
a) Vamos começar considerando a solução geral para a distribuição de temperatura da aleta da seguinte forma:
Com expressa em funções hiperbólicas, vamos ter:
Aqui, e são constantes, é um parâmetro.
Considerando a seguinte condição de limite em :
Aplicamos a condição de limite à solução geral da seguinte maneira:
Agora considerando a condição de contorno , vamos ter:
E aplicando a condição de contorno à solução geral, temos:
Passo 3
Então, resolvendo as equações e para obter os valores de e , vamos ter:
E substituindo os valores de e na solução geral para obter a distribuição de temperatura:
Diferenciando essa expressão dos dois lados, temos:
Passo 4
Agora considerando a taxa de transferência de calor da Lei de Condução de Fourier da seguinte forma:
Temos:
Substitua na equação:
Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor da aleta em é .
E substitua na equação, vamos obter:
Portanto, a expressão para a taxa de transferência de calor da aleta em é
Passo 5
b) Agora vamos obter a condutividade térmica do alumínio na tabela , “Propriedades termo-físicas de sólidos metálicos selecionados” na temperatura de , de modo que:
Assim, calculando o valor do parâmetro , teremos:
E calculando a taxa de transferência de calor da aleta usando a seguinte relação:
Temos:
Passo 6
Agora calculando a dissipação máxima de energia da placa superior, usando a equação:
E substituindo os valores, temos:
Portanto, a dissipação máxima de energia da placa superior é .
De maneira semelhante, vamos calcular a dissipação máxima de energia da placa inferior da seguinte forma:
Substituindo os valores, temos:
Portanto, a dissipação máxima de energia da placa inferior é .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a) ,
b) e