Enunciado

Faça uma análise da forma η ( x ) da interface água-ar próxima de uma parede plana, como na Figura P 1.68 , considerando que a inclinação seja pequena, R - 1 ≈ d 2 η d x 2 . Considere também que a diferença de pressão através da interface seja equilibrada pelo peso específico e pela altura da interface, Δ ρ ≈ ρ g η . As condições de contorno são um ângulo de contato molhado θ em x = 0 e uma superfície horizontal η = 0 quando x → ∞ . Qual é a altura máxima h na parede?

Passo 1

Vamos lá, essa questão não é nenhuma anomalia, vamos conseguir resolver ela com calma!

Antes de tudo, temos que entender que é um problema bidimensional de tensão superficial e só temos uma curvatura, logo contas mais fáceis! uhul!

Nossa equação diferencial é dada por:

Δ p = ρ g η = Y R

Lembrando que R - 1 ≈ d 2 η d x 2 .

Δ p ≈ Y d 2 η d x 2

Organizando nossa equação temos:

ρ g Y η = d 2 η d x 2 → ρ g Y η = n ¨

ρ g Y η - n ¨ = 0

Opa, mas isso é uma EDO de segunda ordem homogênea com uma solução bem conhecida.

η = C 1 e K x + C 2 e - K x

Onde:

K = ρ g y

Caso não se lembre do assunto, nós temos aqui no site! Se for preciso dá uma revisada. :D

Passo 2

Bem agora temos nossa equação, agora temos que descobrir nossas constantes C 1 e C 2

Vamos pensar um pouco, se quando x → ∞ , η = 0 . O termo C 1 e K x , deve ser igual a zero, caso contrário η → ∞ , logo.

C 1 = 0

Agora podemos descobrir C 2 para x = 0 , pois é a altura máxima que o fluído pode atingir.

η x = 0 = C 2 e 0 = h

C 2 = h

Assim nossa expressão fica.

η = h ⋅ e - K x ; K = ρ g y

Passo 3

Achou que tinha acabado? Achou errado! Kkkk

Tem um último detalhe pra finalizar a questão, a altura máxima! Temos um ângulo de contato que é a famosa reta tangente a curvatura do fluído, assim:

Ilustrando:

η ˙ = - K h ⋅ e - K x = - 1 tg ⁡ θ

Para η = 0 :

η ˙ = - K h ⋅ e 0 = - cotg ⁡ θ

K h = cotg ⁡ θ

h = cotg ⁡ θ K

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

η = h ⋅ e - ρ g y x ,   o n d e   h = ρ g y 1 2 cotg ⁡ θ

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