Enunciado

Um ferro de 1200 W é deixado sobre uma tábua de passar com sua base exposta ao ar ambiente a 26 °C. A placa da base do ferro tem espessura L = 0,5   c m , área da base A = 150   c m 2 e condutividade térmica k = 18   W / m ⋅ K . A superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pelo aquecedor do ferro. A superfície externa da placa da base do ferro, cuja emissividade é ϵ = 0,7 , perde calor por convecção para o ar ambiente com coeficiente médio de transferência de calor h = 30   W / m 2 ⋅ K , bem como por radiação para as superfícies ao redor a uma temperatura média T c i r = 295   K . Desprezando qualquer perda de calor através da parte superior do ferro, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa, (b) obtenha a relação para a temperatura da superfície eterna da placa resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura da superfície externa.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, condutividade térmica constante e com radiação térmica.

Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Levando em consideração as nossas hipóteses, a EDO que rege o nosso problema é:

d 2 T d x 2 = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito. Na superfície interna ele está sujeito a um fluxo de calor constante. Portanto,

- k d T d x x = 0 = 1200 150 ⋅ 10 - 4 = 80   k W / m 2

Já a outra é condição é a convecção na superfície externa associada ao efeito da radiação. Portanto,

- k d T d x x = L = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

Passo 2

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na parede nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

d 2 T d x 2 = 0  

d T d x = C 1

T x = C 1 x + C 2

Aplicando ambas as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

- k ⋅ C 1 = 80   k W - k C 1 = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

Portanto, a relação que define a temperatura na superfície externa é:

h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4 = 80 ⋅ 10 3

Se substituirmos os valores das constantes, temos:

30 T L - 26 + 3,969 ⋅ 10 - 8 T L + 273 4 - 295 4 = 80 ⋅ 10 3

OBS: Percebam que a temperatura do termo de radiação deve estar em Kelvin! Por causa disto, soma-se 273 a temperatura em graus Celsius.

Passo 3

Para determinarmos a temperatura na superfície externa, temos que resolver a equação do Passo 2 através de algum método iterativo, pois temos termos elevado a 4! Resolvendo-o, obtemos a seguinte temperatura:

T L = 819,3   ° C

E é isto aí!

Resposta

  1. A EDO é:
  2. d 2 T d x 2 = 0

    E as condições de contorno são:

    - k d T d x x = 0 = 80   k W / m 2

    - k d T d x x = L = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

  3. A expressão para a temperatura na superfície externa é:
  4. h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4 = 80 ⋅ 10 3

    Ou

    30 T L - 26 + 3,969 ⋅ 10 - 8 T L + 273 4 - 295 4 = 80 ⋅ 10 3

  5. A temperatura na superfície externa é

T L = 819,3   ° C

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