Enunciado

Usando os resultados numéricos obtidos por Blasius (Tabela 9.1), avalie a distribuição de tensão de cisalhamento em uma camada limite laminar sobre uma placa plana. Trace τ / τ w versus y / δ . Compare com os resultados deduzidos a partir do perfil de velocidade aproximado senoidal dado no Problema 9.10.

Passo 1

Beleza! Então, para começar esse exercício, vamos escrever a equação para o perfil de velocidade senoidal:

u U = sen ⁡ π 2 . y δ

E, sabemos que a tensão de cisalhamento pode ser escrita como:

τ = μ . ∂ u ∂ y

E, de acordo com Blasius, temos o perfil de velocidade dado por:

u = U f ' η

Sendo que η é dado por:

η = y U ν x

Sendo assim, a tensão de cisalhamento pode ser escrita como:

τ = μ . ∂ ∂ y U f ' n = μ U f ' ' η . ∂ η ∂ y

Então, a tensão de cisalhamento será:

τ = μ U f ' ' η U ν x

Passo 2

Agora nós vamos pegar a equação encontrada no passo 1 para a tensão de cisalhamento e dividir os dois lados por ρ U 2 , então, temos:

τ ρ U 2 = μ ρ U . f ' ' η . U ν x = f ' ' η U ν x U 2 ν 2 → τ ρ U 2 = f ' ' η ν U x

E, nós sabemos que o número de Reynolds é dado por:

R e = ρ U x μ = U x ν

Então a equação acima se torna:

τ ρ U 2 = f ' ' η R e x

Então, a distribuição da tensão de cisalhamento, com o auxílio da tabela 9.1 apresentada nesse capítulo, pode ser representada por:

τ τ w = f ' ' η f ' ' 0 = f ' ' η 0,33206

E, como temos η = 5 → y = δ , então:

y δ = η 5

Passo 3

Agora, do perfil senoidal, temos que a tensão de cisalhamento será:

τ = μ . ∂ u ∂ y = μ U δ d u U d y δ

Então, a derivada do perfil u / U parabólico com relação à y / δ será:

d u U d y δ = π 2 cos ⁡ π 2 . y δ

Então, a tensão de cisalhamento se torna:

τ = π μ U 2 δ cos ⁡ π 2 . y δ

E, como temos:

τ w = π μ U 2 δ

Então, o perfil de cisalhamento será:

τ τ w = cos ⁡ π 2 . y δ

Plotando o perfil de cisalhamento, temos:

Resposta

τ τ w = cos ⁡ π 2 . y δ

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