Enunciado

Uma fibra ótica de sílica vítrea com 100 μm de diâmetro é usada para enviar sinais óticos de um sensor localizado no interior de uma câmara de hidrogênio. O hidrogênio está a uma pressão de 20 bar. A difusividade mássica e a solubilidade do hidrogênio na fibra de vidro são DAB = 2,88 x 10−15 m²/s e S = 4,15 x 10−3 kmol/(m³ · bar), respectivamente. A difusão do

hidrogênio para dentro da fibra é indesejada, pois ele muda a transmissividade espectral e o índice de refração do vidro e pode levar à falha do sistema de detecção.

  1. Determine a concentração média de hidrogênio em uma fibra ótica não revestida, C - , após 100 horas de operação no ambiente de hidrogênio. Determine a variação correspondente no índice de refração, Δn, da fibra. Para a sílica vítrea,   Δ n   =   1,6 × 10 - 3 m 3 k m o l × C - .
  2. Determine a concentração média de hidrogênio e a variação no índice de refração após 1 hora e 10 horas de operação no ambiente de hidrogênio.

Passo 1

Shoow de bolinhas galeraa ?! Vamos continuar?

Bom, o problema nos pediu na letra (a) para determinar a concentração média de hidrogênio em uma fibra ótica não revestida,   C - , e a variação correspondente no índice de refração, Δn, da fibra, ok?

Bom, vamos começar pela concentração média do hidrogênio na fibra ótica porque nós temos uma fórmula para isso:

C A - = ∫ C A x , t . d V V

Eita lasqueira !!

Para saber como achar esta integral vamos precisar do Fourier:

F o m = D A B t r 0 2

Sabendo que:

D A B = 2,88 × 10 - 15 m 2 s

t = 100   h × 3600   s 1 h = 360000   s

r 0 = 50 × 10 - 6   m

Substituindo:

F o m = 2,88 × 10 - 15 360000 50 × 10 - 6 2 = 0,415

Como F o m ≥ 0,1 nós podemos usar uma aproximação de um termo para a solução em série, ok?

Então, usando uma analogia com a transferência de calor transferida através de uma parede:

∆ M A ∆ M A , 0   = ∫ - C A x , t - C A , i C A , i - C A , s . d V V

∆ M A ∆ M A , 0   = ∫ C A x , t - C A , i C A , s - C A , i . d V V

∫ C A x , t - C A , i . d V V = ∆ M A ∆ M A , 0   C A , s - C A , i

Como inicialmente não temos hidrogênio na fibra ótima:

C A , i = 0

Então:

C A - = ∆ M A ∆ M A , 0   C A , s

Passo 2

Precisamos achar duas coisas aqui então !! Começando por C A , s :

C A , s = S p A

Onde:

S   =   415 × 10 - 3 k m o l m 3 b a r

p A = 20   b a r

Substituindo para achar a concentração:

C A , s = 415 × 10 - 3 k m o l m 3 b a r 20   b a r = 0,083   k m o l m 3

Agora vamos para ∆ M A ∆ M A , 0   !!

E para isso nós vamos usar uma analogia com a transferência de calor novamente para o caso de um cilindro infinito:

∆ M A ∆ M A , 0   = 1 - 2 γ 0 * ξ 1 J 1 ξ 1

Mais desconhecidos aí para nós acharmos !!

Lembrando que:

γ 0 * = C 1 e - ξ 1 2 . F o m

Quando temos o número de Biot tendendo a infinito, B i → ∞ , podemos olhar na Tabela 5.1 e achar que:

C 1 = 1,60108

ξ 1 = 2,4050   r a d

Sendo assim:

γ 0 * = 1,60108 e - 2,4050 2 . 0,415 = 0,145

E para achar J 1 ξ 1 = J 1 2,4050   nós vamos lá na Tabela B – 4 e achar que:

J 1 2,4050   = 0,52

Substituindo:

∆ M A ∆ M A , 0   = 1 - 2 0,145 2,4050 0,52 = 0,937

E agora sim:

C A - = 0,937 0,083 = 0,0778 k m o l m 3

E para finalizar com a variação correspondente no índice de refração, com a fórmula já dada:

Δ n   =   1,6 × 10 - 3 m 3 k m o l × C A -

Então:

Δ n   =   1,6 × 10 - 3 m 3 k m o l × 0,0778 k m o l m 3

Δ n   = 1 , 24 × 10 - 4

E assim nós finalizamos a letra (a) !!

Passo 3

Bom, na letra (b) nós queremos a mesma coisa mas para dois tempos diferentes, 1 hora e 10 horas !!

Primeira coisa galera, calcular o Fourier !!

F o m = D A B t r 0 2

Quando t = 1 h = 3600   s :

F o m = 2,88 × 10 - 15 3600 50 × 10 - 6 2 = 0,00415

Quando t = 10 h = 36000   s :

F o m = 2,88 × 10 - 15 36000 50 × 10 - 6 2 = 0,0415

Como F o m ≤ 0,1 nós podemos usar outra relação para a concentração média:

C A - = ∫ N " A , s d t . d V V

Podemos substituir:

V = π r 0 2 L

d V = 2 π r 0 L

Então:

C A - = ∫ N " A , s d t . 2 π r 0 L π r 0 2 L

Vamos guardar esta informação !!

Passo 4

Na transferência de calor nós temos que:

q * = q " s r o k T s - T i

E também que, para o caso de cilindros infinitos a Tabela 5.2ª nos diz que:

q * F o m = 1 π F o - 0,50 - 0,65 F o

Então:

1 π F o - 0,50 - 0,65 F o = q " s r o k T s - T i

Manipulando:

q " s = k T s - T i r o   1 π F o - 0,50 - 0,65 F o

Analogamente para transferência de massa:

N " A , s = D A B C A , s - C A , i r o   1 π F o , m - 0,50 - 0,65 F o , m

Substituindo na equação do Passo 3:

C A - = ∫ D A B C A , s - C A , i r o   1 π F o , m - 0,50 - 0,65 F o , m d t . 2 π r 0 π r 0 2    

C A - = 2 C A , s - C A , i ∫   1 π F o , m - 0,50 - 0,65 F o , m . D A B . d t r 0 2

Sabendo que:

D A B . d t r 0 2 = d F o , m

Então:

C A - = 2 C A , s - C A , i ∫   1 π F o , m - 0,50 - 0,65 F o , m . d F o , m

C A - = 2 C A , s - C A , i 2 F o , m π - 0,50 F o , m - 0,65 F o , m 2

Shoow de bolinhas !!

Passo 5

Quando t = 1 h :

C A - = 2 0,083 - 0 2 0,00415 π - 0,50 0,00415 - 0,65 0,00415 2

C A - = 0,01203 k m o l m 3

E a variação correspondente no índice de refração, com a fórmula já dada:

Δ n   =   1,6 × 10 - 3 m 3 k m o l × 0,01203 k m o l m 3

Δ n   = 1,95 × 10 - 5

Quando t = 1 0 h :

C A - = 2 0,083 - 0 2 0,0415 π - 0,50 0,0415 - 0,65 0,0415 2

C A - = 0,03 46 k m o l m 3

E a variação correspondente no índice de refração, com a fórmula já dada:

Δ n   =   1,6 × 10 - 3 m 3 k m o l × 0,0346 k m o l m 3

Δ n   = 5,54 × 10 - 5

E chegamos ao fim de mais umaa !!

Resposta

  1. C A - = 0,0778 k m o l m 3     |     Δ n   = 1 , 24 × 10 - 4
  2. 1   h :   C A - = 0,01203 k m o l m 3     |     Δ n   = 1,95 × 10 - 5

1 0   h :   C A - = 0,0346 k m o l m 3     |     Δ n   = 5,54 × 10 - 5

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