Enunciado

Se uma quantidade de energia Q " 0 J m 2 for liberada instantaneamente, por exemplo, a partir de um laser pulsante, e ela for absorvida pela superfície de um meio semi-infinito, sem perdas concomitantes para o ambiente, a distribuição de temperaturas subsequente no meio é

T x , t - T i = Q " 0 ρ c π α t 1 2 e - x 2 4 α t

sendo Ti a temperatura inicial e uniforme do meio. Considere um processo de transferência de massa análogo envolvendo a deposição de uma fina camada de fósforo (P) sobre uma pastilha de silício (Si) à temperatura ambiente. Se a pastilha estiver colocada em um forno, a difusão do P no Si é aumentada significativamente pelo ambiente a alta temperatura.

Uma pastilha de Si com um filme de P com espessura de 1 μm é subitamente colocada em um forno a 1000°C e a distribuição resultante de P é caracterizada por uma expressão com a forma:

C p x , t = M " p ,   0 π D P - S i t 1 2 e - x 2 4 D P - S i t

sendo a concentração superficial molar M " p ,   0 k m o l m 2 de P associada ao filme de concentração C p e espessura d 0 .

  1. Explique a correspondência entre variáveis nas distribuições de temperaturas e de concentrações análogas.
  2. Determine a fração molar de P a uma profundidade de 0,1 μm no Si após 30 s. O coeficiente de difusão é D P - S i   =   1,2 × 10 - 17 m 2 s . As concentrações mássicas do P e do Si são 2000 e 2300 kg/m³, respectivamente, e suas massas molares são 30,97 e 28,09 kg/kmol.

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, o problema nos pediu na letra (a) apenas falar sobre a analogia entre as equações, certo?

Na equação de transferência de calor, o termo T x , t - T i representa o aumento da temperatura com o tempo, enquanto na transferência de massa nós temos o C p x , t representando a concentração acima da distribuição inicial uniforme, desde o momento inicial, quando teremos C P , i = 0 .

Agora, o termo Q " 0 ρ c da equação de transferência de calor e M " p ,   0 na transferência de massa representam a energia e a massa, respectivamente, que aparecem instantaneamente na superfície!!

Agora, a difusividade térmica na primeira equação, α , equivale ao coeficiente de difusão mássica, D P - S i , mostrada na segunda !

E para finalizar, o termo ρ c representa a capacidade térmica armazenada por unidade de área, enquanto para a transferência de massa seu análogo é o volume !!

E na letra (a) é só isso galerinha !! Bem teórico, não é?

Passo 2

Bom galerinha, na letra (b) queremos a fração molar de P na placa, sabendo que:

x = 0,1   μ m = 0,1 × 10 - 6 m

t = 30   s

D P - S i   =   1,2 × 10 - 17 m 2 s

ρ P = 2000 k g m 3

ρ S i = 2300 k g m 3

M P = 30,97 k g k m o l

M S i = 28,09 k g k m o l

Nós já sabemos que:

C p x , t = M " p ,   0 π D P - S i t 1 2 e - x 2 4 D P - S i t

A única coisa que não temos é M " p ,   0 , mas para calcular vamos usar uma fórmula muito simples:

M " p ,   0 = C p , 0 . x

A concentração pode ser escrita como:

M " p ,   0 = ρ P M P . x

Substituindo:

M " p ,   0 = 2000 30,97 . 0,1 × 10 - 6 = 6,458 × 10 - 5 k m o l m 2

E na fórmula do problema:

C p 0,1   μ m , 30   s = 6,458 × 10 - 5 π 1,2 × 10 - 17 30 1 2 e - 0,1 × 10 - 6 2 4 1,2 × 10 - 17 30

C p 0,1   μ m , 30   s = 1,85 k m o l m 3

Achamos uma informação importante, mas ainda não é o que procuramos!

O que queremos é a fração molar, ou seja:

x = C p C S i

Então ainda precisamos de achar C S i ‼

Mas usando uma fórmula similar ao que vimos no comecinho deste Passo:

C S i = ρ S i M S i

Substituindo na fórmula do que queremos:

x = C p ρ S i M S i

E colocando os dados:

x = 1,85 2300 28,09 = 0,0226

Sendo assim, quando estamos a uma distância de 0,1   μ m e 30 s a fração de fósforo é 0,0226   ‼

Shoooow !! Acabamos mais umaa !!

Resposta

x = 0,0226

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