Enunciado

For the fl ow of gas between two parallel plates of Fig. 1.7,

reanalyze for the case of slip fl ow at both walls. Use the

simple slip condition, δuwall 5

the mean free path of the fl uid. Sketch the expected velocity profi le and fi nd an expression for the shear stress at

each wall.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Calculando a condição de deslizamento nas paredes paralelas das placas:

δ u p a r e d e = l d u d y p a r e d e

Aqui, U é a velocidade da placa se movendo

Calculando a distribuição linear da velocidade

u y = a + b y

Passo 2

Devido à condição de deslizamento a velocidade do gás na placa inferior é δ u p a r e d e

Já que a placa superior está se movendo com uma velocidade de U . A velocidade do gás adjacente para a placa superior é menor que a velocidade da placa superior por δ u p a r e d e , devido a condição de deslizamento.

Calculando a velocidade do gás adjacente à placa superior

u y y = h = U - δ u y = h

Passo 3

Desenhando o fluxo do gás entre as duas placas paralelas

Passo 4

Aplicando as condições de fronteira nas paredes

Parede inferior:

Em y = 0

u y y = 0 = δ u

→ a + b y y = 0 = l d u d y

→ a + b ⋅ 0 = l d a + b y d y

∴ a = l b

Parede superior:

Em y = h

u y y = h = U = δ u y = h

→ a + b y y = h = U - l d u d y y = h

→ a + b ⋅ h = U - l d a + b y d y y = h

→ a + b h = U - l b

∴ b = U 2 l + h

Passo 5

Temos que

a = l b

Substituindo o que achamos

a = l U 2 l + h = U l 2 L + h

Substituindo na equação para u y

u y = a + b y = U l 2 L + h + U 2 L + h y

→ u y = U l 2 l + h l + y

Passo 6

Calculando a tensão de cisalhamento

τ = μ d u d y

Substituindo valores

τ = μ d d y U l 2 l + h l + y

→ τ = U μ 2 l + h

Passo 7

Tensão de cisalhamento na parede inferior

Para a tensão de cisalhamento na parede substituímos h = 0

τ = U μ 2 l + 0

∴ τ = U μ 2 l

Tensão de cisalhamento na parede superior

Para a tensão de cisalhamento na parede substituímos h = h

∴ τ = U μ 2 l + h

Resposta

τ = U μ 2 l

τ = U μ 2 l + h

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