Enunciado

A força F é aplicada à ponta de uma viga em balanço de comprimento L e momento de inércia I (Figura P 7 - 78 ). O módulo da elasticidade do material da viga é E . Quando a força é aplicada, a deflexão da ponta da viga é z d . Use a análise dimensional para gerar uma relação para z d como função das variáveis independentes. Cite todos os parâmetros adimensionais usuais que aparecem em sua análise.

Passo 1

Bom, gente, essa questão segue um modelo de como pode ser resolvida. Basicamente, ela é feita por 6 etapas e o nosso objetivo aqui é encontrar uma relação para z d como função das variáveis independentes.

Passo 2

Vamos lá, o primeiro passo consiste em listar os parâmetros. Existem 5 parâmetros nesse problema, são eles:

z d = f ( F , L , I , E )

No segundo passo, temos as seguintes dimensões primárias dos parâmetros:

z d = L 1

F = m a         ∴             F = m 1 ∙ L 1 ∙ t - 2

L = L 1

I = L 4

E = m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 2

Uma observação importante: quando estamos tratando de uma deflexão, usamos o segundo momento de área, logo, I = L 4 .

Passo 3

No terceiro passo, como primeira tentantiva tomamos j = 3 que corresponde a quantidade de dimensões primárias do problema ( m ,   L , t ) . Se este valor de j , estiver certo, o numero de Π ' s esperado é

k = n - j = 5 - 3 = 2

Passo 4

No quarto passo, nós precisamos escolher 3 parametros repetidos. Não podemos escolher I e L pois eles tem dimensões diferentes, nem poderemos escolher F , L , E pois eles formam o mesmo Π . Como j = 3 - 1 = 2 , teremos dois parâmetros, e 5 - 2 = 3 Π ' s . Assim, a nossa opção é:

L   e   E

Passo 5

No quinto passo, geramos o primeiro Π com a variável dependente, como z d tem as mesmas dimensões de L , logo:

Π 1 = z d L

Com as variáveis do mesmo Π formamos o Π 2 :

Π 2 = F L a E b                       ∴                   Π 2 = { m 1 ∙ L 1 ∙ t - 2 L 1 a m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 2 b }

Calculando os expoentes para cada dimensão:

Massa: m 0 = m ∙ m b               ∴             b = - 1

Tempo: t 0 = t - 2 ∙ t - 2 b                   ∴                 0 = - 2 - 2 b               ∴           b = - 1

Comprimento: L 0 = L a ∙ L - b ∙ L                     ∴                     0 = a - b + 1                 ∴               a = - 2

Substituindo no Π 2 :

Π 2 = F L - 2 E - 1 = F L 2 E

Mas ainda não é suficiente para representar um parâmetro sem dimensão reconhecido.

Passo 6

Por fim, tentamos com as variáveis que nos restaram I e L :

Π 3 = I L 4

Também não é suficiente para representar um parâmetro sem dimensão reconhecido. Assim, nós podemos unir todos os Π ' s da seguinte forma:

Π 1 = f ( Π 2 , Π 3 )

z d L = f ( F L 2 E , I L 4 )

Prontinho!!

Resposta

z d L = f ( F L 2 E , I L 4 )

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