Enunciado

Um forno é construído em três seções, que incluem uma seção circular isolada termicamente (2) e uma seção cilíndrica também com isolamento (3), assim como uma seção cilíndrica intermediária (1) que tem aquecedores elétricos nela embutidos. O comprimento total e o diâmetro são de 200   m m e 100   m m , respectivamente, e as seções cilíndricas têm comprimentos iguais. A vizinhança encontra-se a 0   K .

(a) Se todas as superfícies forem negras, determine a potência elétrica, q 1 , necessária para manter a seção aquecida a 1000   K .  

(b) Quais são as temperaturas das seções isoladas T 2 e T 3 ?

(c) Para D   =   100   m m , gere um gráfico de q 1 ,   T 2 e T 3 como funções da razão comprimento-diâmetro, no intervalo 1   ≤   L / D   ≤   5 .

Passo 1

Nessa questão nós temos uma seção cilíndrica intermediária (1) com aquecedores de resistência elétrica embutidos e as seções cilíndricas (1,3) têm o mesmo comprimento.

A partir disso vamos encontrar a energia elétrica necessária para manter a seção aquecida em T 1 = 1000   K , se todas as superfícies forem pretas e as temperaturas das seções isoladas, T 2 e T 3 .

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Todas as superfícies são pretas;

(2) As áreas (1, 2, 3) são isotérmicas;

(3) Radiosidade e irradiação uniformes da superfície.

Para completar o gabinete representando o forno, vamos definir a superfície hipotética A 4 como a abertura em 0   K (lado direito) com emissividade de unidade.

Para cada uma das superfícies 1, 2 e 3 do gabinete, o equilíbrio de energia segue:

q 1 = A 1 F 12 E b 1 - E b 2 + A 1 F 1 3 E b 1 - E b 3 + A 1 F 1 4 ( E b 1 - E b 4 )

0 = A 2 F 21 E b 2 - E b 1 + A 2 F 2 3 ( E b 2 - E b 3 ) + A 2 F 2 4 ( E b 2 - E b 4 )

0 = A 3 F 3 1 E b 3 - E b 1 + A 3 F 32 ( E b 3 - E b 2 ) + A 3 F 3 4 ( E b 3 - E b 4 )

Onde os poderes emissivos são,

E b 1 = σ T 1 4

E b 2 = σ T 2 4

E b 3 = σ T 3 4

E b 4 = 0

Passo 3

Para este gabinete de quatro superfícies, há N 2 = 16 fatores de forma e.

N N   -   1 2 =   4   × 3 2 =   6  

Deve ser determinado diretamente (por inspeção ou fórmulas) e o restante pode ser avaliado a partir da regra de soma e relação de reciprocidade. Por inspeção,

F 22 = 0

F 44 = 0

Na relação de disco paralelo coaxial, Tabela 13.2, encontramos F 24 :

R 2 = r 2 L = 0,050 m 0,200 m = 0,250

R 4 = r 4 L = 0 , 250

S = 1 + 1 + R 4 2 R 2 2 = 1 + 1 + 0 , 2 5 0 2 0 , 2 5 0 2 = 18 , 0 0

Então,

F 12 = 1 2 S - S 2 - 4 r 4 r 2 2 1 2 = 1 2 18,00 - 18,00 2 - 4 0 , 250 0 , 2 5 0 2 1 2 = 0 , 0557  

Passo 4

Considerando o gabinete de três superfícies 1 - 2 - 2 ' e encontrando F 11 como começando com a regra de soma,

F 11 = 1 - F 12 - F 12 '

Onde, por simetria, F 12 = F 12 ' e usando reciprocidade,

F 12 = A 2 F 21 A 1 = π D 2 4 F 23 π D L 2 = D F 21 2 L

E da regra de soma em A 2 ,

F 21 = 1 - F 22 ' = 1 - 0,172 = 0,828

Passo 5

Usando a relação de disco paralelo coaxial, Tabela 13.2, para encontrar F 22 ' ,

R 2 = r 2 L = 0,050 m 0,200 m 2 = 0,5 0 0

R 2 ' = 0,500

S = 1 + 1 + R 2 ' 2 R 2 2 = 1 + 1 + 0,5 0 0 2 0,5 0 0 2 = 6 , 00

Então,

F 12 = 1 2 S - S 2 - 4 r 2 ' r 2 2 1 2 = 1 2 6 , 00 - 6 , 00 2 - 4 0 , 50 0 0,5 0 0 2 1 2 = 0 , 1716  

Passo 6

Avaliando F 12 encontramos,

F 12 = 0,100 m × 0,828 2 × 0,200 m = 0,2071

E avaliando F 11 encontramos,

F 11 = 1 - 2 × F 12 = 1 - 2 × 0,207 = 0,586

Por simetria, temos que:

F 33   =   F 11   e F 43   =   F 21

Até este ponto, determinamos diretamente seis fatores de forma e o F i j restante pode ser avaliado a partir das regras de soma e das relações de reciprocidade apropriadas.

Conhecendo todos os fatores de forma necessários, os balanços de energia e as potências emissivas, podem ser resolvidos simultaneamente para obter:

q 1 = 255   W

E b 2 = 5,02 × 10 4   W / m 2

E b 3 = 2,79 × 10 4   W / m 2

T 2 = 970 K

T 3 = 837,5   K

Resposta

(a)   q 1 = 255   W

(b) T 2 = 970 K e T 3 = 837,5   K

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