Enunciado

Uma grossa parede feita em madeira de carvalho, inicialmente a 25 °C, é subitamente exposta a produtos de combustão para os quais T ∞ = 800 °C e h = 20 W/(m² · K).

(a) Determine o tempo de exposição necessário para a superfície da parede atingir a temperatura de ignição de 400 °C.

(b) Represente graficamente a distribuição de temperaturas T(x) na parede em t = 325 s. A distribuição deve se estender até a posição na qual T ≈ 25 °C.

Passo 1

Beleza! Nesse exercício, vamos modelar o problema como sendo um sólido semi-infinito com convecção na superfície. Sabendo disso, podemos usar a figura 5.8 apresentada nessa seção, que é dada a seguir:

Então, como estamos interessados na temperatura na superfície, temos:

x α t = 0 α t = 0

Então, iremos analisar a extremidade esquerda do gráfico. Agora, precisamos determinar a relação adimensional de temperaturas, que será dada por:

T - T i T ∞ - T i

Substituindo os valores conhecidos, lembrando que estamos interessados no tempo quando a superfície da parede atingir a temperatura de 400 °C, então temos:

T - T i T ∞ - T i = 400 - 25 800 - 25 → T - T i T ∞ - T i = 0,484

Passo 2

Então, olhando o gráfico, podemos estimar uma linha para a relação h α t / k , e no nosso caso, olhando o gráfico, podemos ver que nosso ponto fica entre as curvas de valor 0,5 e 1, e aproximadamente no meio delas, então, nesse caso, vamos adotar:

h α t k = 0,75

Então, isolando o tempo dessa equação, temos:

α t = 0,75 k h → α t = 0,75 k h 2 → t = 1 α 0,75 k h 2

Agora, precisamos buscar os valores das propriedades da madeira de carvalo, a temperatura de 25 ° C ≈ 300 K, dessa forma, recorrendo à tabela A.3 do apêndice A, temos os seguintes valores:

ρ = 545   k g / m 3

k = 0,17   W / m . K

c = 2385   J / k g . K

E, com esses valores, podemos calcular a difusividade térmica α , dada por:

α = k ρ c = 0,17 545 2385 → α = 1,31.10 - 7   m 2 / s

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para o tempo, chegamos em:

t = 1 α 0,75 k h 2 = 1 1,31.10 - 7 0,75 0,17 20 2

t = 310,2   s

Passo 3

Agora, na letra (b), para representar a distribuição de temperatura na parede em t = 325 s, devemos utilizar a equação 5.63 vista nesse capítulo, que é modelada para um sólido semi-infinito com convecção na superfície, e dada a seguir:

T x , t - T i T ∞ - T i = erfc ⁡ x 2 α t - exp ⁡ h x k + h 2 α t k 2 e r f c x 2 α t + h α t k

No nosso caso, estamos interessados em avaliar a temperatura até o ponto em que ela seja aproximadamente igual a 25 °C para um tempo fixo de 325 segundos. Dessa forma, com a equação acima, podemos modelar a distribuição de temperatura como:

Resposta

t = 310,2   s

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