Enunciado

Um elemento combustível de um reator nuclear é constituído por um bastão cilíndrico maciço de raio r 1 e condutividade térmica k c . O bastão combustível encontra-se em perfeito contato com um material de revestimento que possui um raio externo r 2 e uma condutividade térmica k r . Suponha condições de regime estacionário, nas quais há geração uniforme de calor no interior do combustível a uma taxa volumétrica q ˙ e a superfície externa do revestimento está exposta a um refrigerante caracterizado por uma temperatura T ∞ e um coeficiente convectivo h.

(a) Obtenha equações para as distribuições de temperaturas T c r e T r r no combustível e no revestimento, respectivamente. Expresse os seus resultados exclusivamente em termos das variáveis anteriores.

(b) Seja um bastão combustível de óxido de urânio, com k c = 2   W / ( m . K ) e r 1 = 6   m m , e um revestimento com k r = 25   W / ( m . K ) e r 2 = 9   m m . Se q ˙ = 2.10 8   W / m 3 , h = 2000 W/(m2 · K) e T ∞ = 300 K, qual é a temperatura máxima no elemento combustível?

(c) Calcule e represente graficamente a distribuição de temperaturas, T(r), para valores de h = 2000, 5000 e 10.000 W/(m² · K). Se a operadora desejar manter a temperatura no eixo central do elemento combustível abaixo de 1000 K, ela poderá fazer o controle ajustando o escoamento

do refrigerante e desta forma o valor do h?

Passo 1

Beleza! Antes de começar a letra (a), devemos ilustar o problema com o que foi fornecido no enunciado, então, teremos:

Então, como temos geração no bastão interno e não temos no externo, devemos separar o problema em duas partes. Teremos uma equação para o perfil de temperatura na parte interna e outra na parte externa. Então, na parte com geração, a equação da distribuição de temperatura será:

1 r . d d r r . d T d r + q ˙ k = 0 → 1 r . d d r r . d T c d r = - q ˙ k c

Essa será nossa equação 1 para o raio interno. Agora, para o raio externo, a equação que descreve o perfil de temperatura será:

1 r . d d r r . d T d r = 0 → 1 r . d d r r . d T r d r = 0

Essa será nossa equação 2, que representa o perfil de temperatura entre r 1 e r 2 . Então agora nós vamos integrar nossa equação 1, obtida anteriormente, fazendo isso, chegamos em:

1 r . d d r r . d T c d r = - q ˙ k c → d d r r . d T c d r = - q ˙ r k c

r . d T c d r = - q ˙ r 2 2 k c + C 1 → d T c d r = - q ˙ r 2 k c + C 1 r

Integrando essa equação novamente, temos:

T c = - q ˙ r 2 4 k c + C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora, integrando nossa equação 2, temos:

1 r . d d r r . d T r d r = 0 → r . d T r d r = C 3 → d T r d r = C 3 r

Integrando a expressão novamente, chegamos em:

T r = C 3 ln ⁡ r + C 4

Passo 2

Agora vamos utilizar as condições de contorno conhecidas para determinar as 4 constantes. Então, temos primeiro que não teremos gradiente de temperatura no centro do bastão interno, então, podemos escrever:

r = 0 → d T c d r = 0

Substituindo esses valores na expressão obtida no passo 1, temos:

d T c d r = - q ˙ r 2 k c + C 1 r → 0 = - q ˙ 0 2 k c + C 1 0 → C 1 = 0

Uma outra condição de contorno que temos é que a temperatura na superfície r = r 1 é igual para os dois materiais, então, temos:

T c r 1 = T r r 1

Substituindo as expressões em r = r 1 , temos:

- q ˙ r 1 2 4 k c + C 2 = C 3 ln ⁡ r 1 + C 4

Essa será nossa equação número 3. Agora, aplicando um equilíbrio de energia em r = r 1 , notamos que toda a energia por condução do bastão também será a energia por condução na camada externa, então, pela lei de Fourier, podemos escrever:

- k c d T c d r r = r 1 = - k r d T r d r r = r 1

Substituindo as expressões conhecidas, temos:

- k c - q ˙ r 1 2 k c = - k r C 3 r 1 → q ˙ r 1 2 = - k r C 3 r 1 → C 3 = - q ˙ r 1 2 2 k r

Agora, a última condição de contorno é dada por um equilíbrio de energia na superfície externa, onde a transferência de calor por condução será igual à de convecção e podemos escrever:

- k r d T r d r r = r 2 = h T r r 2 - T ∞

Substituindo as expressões conhecidas, temos:

- k r C 3 r 2 = h C 3 ln ⁡ r 2 + C 4 - T ∞ → - k r - q ˙ r 1 2 2 k r r 2 = h - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + C 4 - T ∞

Isolando C 4 chegamos em:

C 4 = q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

E, substituindo as expressões conhecidas na equação 3, chegamos numa expressão para C 2 :

- q ˙ r 1 2 4 k c + C 2 = C 3 ln ⁡ r 1 + C 4 → - q ˙ r 1 2 4 k c + C 2 = - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 1 + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

Então, isolando C 2 , temos:

C 2 = q ˙ r 1 2 4 k c - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 1 + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

Então, substituindo as expressões para as constantes, chegamos em:

T c = - q ˙ r 2 4 k c + C 1 ln ⁡ r + C 2

T c = - q ˙ r 2 4 k c + q ˙ r 1 2 4 k c - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 1 + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

E, para a equação entre r 1 e r 2 temos:

T r = C 3 ln ⁡ r + C 4

T r = - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós vamos substituir os valores conhecidos no perfil de temperatura para o bastão interior em r = 0 , pois é nessa posição que temos a maior temperatura, então, teremos:

T c = - q ˙ r 2 4 k c + q ˙ r 1 2 4 k c - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 1 + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

T c = - 2.10 8 0 4 2 + 2.10 8 0,006 2 4 2 - 2.10 8 0,006 2 2 25 ln ⁡ 0,006 + 2.10 8 0,006 2 2 2000 0,009 + 2.10 8 0,006 2 2 25 ln ⁡ 0,009 + 300

T c = 0 + 900 - - 736,7 + 200 + - 678,32 + 300 → T c = 1458,4   K

Passo 4

Agora, para a letra (c), vamos pegar os perfis de temperatura obtidos no passo 2 e variar os valores de h , fazendo isso, teremos:

Como podemos observar, o controle no eixo central do combustível não é muito afetado com o incremento de h , precisaríamos alterar a condutividade do bastão interno para diminuir essa temperatura.

Resposta

a :   T c = - q ˙ r 2 4 k c + q ˙ r 1 2 4 k c - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 1 + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

a :   T r = - q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r + q ˙ r 1 2 2 h r 2 + q ˙ r 1 2 2 k r ln ⁡ r 2 + T ∞

b :   T c = 1458,4   K

c : n ã o   é   p o s s í v e l

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