Enunciado

O jato de água ( ρ = 1000   k g / m 3 ) de área A j = 10 - 4   m 2 incie com velocidade v j na pá solidária ao carro, que se move sem atrito num plano horizontal. O carro, ao se mover, por ação do jato, reboca um bloco de peso G = 20   N sobre um plano inclinado. Se entre a base do bloco, de área 10 - 2   m 2 , e o plano inclinado existe uma camada lubrificante de óleo ( μ = 0,1   N . s / m 2 ) de espessura ε = 10 - 4   m , pergunta-se: qual deve ser a velocidade v j do jato em m/s para que o bloco se movimente no plano inclinado com velocidade constante v = 1   m / s ?

Passo 1

Vamos começar o exercício calculando a tensão no fio, que será a soma da força de cisalhamento na camada de óleo mais a componente do peso na direção do plano inclinado, então, assim, podemos escrever:

T f i o = F c i s + G s e n   30 °

A força de cisalhamento é dada por:

F c i s = τ A = μ v ε A

Então, substituindo essa relação na equação anterior:

T f i o = μ v ε A + G s e n   30 °

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T f i o = 0,1 1 10 - 4 10 - 2 + 20 1 2 → T f i o = 20   N

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação da força exercida pelo fluido em um anteparo para a pá do problema, sendo 1 a entrada e 2 a saída do jato, a equação então se torna:

F → s = - p 1 A 1 n → 1 + p 2 A 2 n → 2 + Q m v → 2 - v → 1

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - 0 A j 1 + 0 A j - cos ⁡ 60 ° + Q m v 2 cos ⁡ 60 ° - v 1 → F s x = Q m v 1 - v 2 cos ⁡ 60 °

Como a vazão é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 1 = v 2 = v r , e podemos escrever a vazão mássica como:

Q m = ρ Q = ρ v r A j

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s x = ρ v r A j v r - v r cos ⁡ 60 ° → F s x = ρ v r 2 A j 1 - cos ⁡ 60 °

Passo 3

Para que o carrinho se mova com velocidade constante, ou seja, sem aceleração, então devemos ter:

T f i o = F s x → 20 = ρ v r 2 A j 1 - cos ⁡ 60 °

Substituindo os valores conhecidos:

20 = 1000 v r 2 10 - 4 1 - 1 2 → v r = 20   m / s

Agora, a vazão do jato v j será a velocidade v r encontrada mais a velocidade do carrinho v , então, temos:

v j = v r + v = 20 + 1 → v j = 21   m / s

Resposta

v j = 21   m / s

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