Enunciado

As linhas de emissão são visualizadas por meio de um fluido corante de empuxo neutro injetado em um campo de escoamento a partir de um ponto fixo no espaço. Uma partícula do fluido corante que está no ponto ( x ,   y ) no instante t deve ter passado pelo ponto de injeção ( x 0 ,   y 0 ) em algum instante anterior t   =   τ . O histórico de uma partícula corante pode ser determinado pela solução das equações da trajetória para as condições iniciais x   =   x 0 , y   =   y 0 , quando t   =   τ . As localizações atuais das partículas sobre a linha de emissão são obtidas fazendose τ igual a valores na faixa 0   -   τ   -   t . Considere o campo de escoamento V   =   a x ( 1   +   b t ) i   +   c y j , em que a = c = 1   s - 1     e b = 0,2   s   - 1 . As coordenadas são medidas em metros. Trace a linha de emissão que passa pelo ponto inicial ( x 0 ,   y 0 )   =   ( 1 ,   1 ) , durante o intervalo de t   =   0 a t   =   3   s . Compare com as linhas de correntes que passam pelo mesmo ponto nos instantes t   =   0 , 1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar as as equações para trajetória na forma:

x p t = x t , x 0 , y 0 , t 0

y p ( t ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Onde x 0 , y 0 é a posição da partícula no instante t = t 0 . Com isso, temos:

x e t 0 = x t , x 0 , y 0 , t 0

y e ( t 0 ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = a x 1 + b t v = d y d t = c y

Separando as variáveis e integrando:

ln ⁡ x x 0 = a t - t 0 + b t 2 - t 0 2 2   x = x 0 e a t - t 0 + b t 2 - t 0 2 2  

y = y 0 e C t - t 0    

Logo, as trajetórias são dadas por:

x t t = x 0 e a t - t 0 + b t 2 - t 0 2 2   y t ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Passo 3

Agora, para a linha de emissão, temos:

x l e t = x 0 e a t - t 0 + b t 2 - t 0 2 2   y l e ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Onde x 0 = y 0 = 0 . Logo:

x l e t 0 = u 0 t - t 0 y l e t 0 = v 0 sin ⁡ ω t 0 ( t - t 0 )

Passo 4

Por fim, temos que a equação das linhas de corrente são dadas por: v u = d y d x = c y a x 1 + b t 1 + A t d y y = C B d x x

Integrando:

1 + b t ln ⁡ y = c a ln ⁡ x + c y 1 + b t = k x c a  

Para a particula no ponto ( 1,1 ) no instante t = 0 , temos:

y = x

Já para t = 1   s :

y = x 2 3

E para t = 2   s :

y = x 1 2

Com isso, nosso gráfico fica assim:

Resposta

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