Enunciado

Líquido viscoso, com vazão volumétrica Q , é bombeado através da abertura central para dentro da folga estreita entre os discos paralelos mostrados. A vazão é baixa, de modo que o escoamento é laminar, o gradiente de pressão devido à aceleração convectiva na folga é desprezível comparado com o gradiente causado pelas forças viscosas (isto é chamado escoamento de arrasto ou creeping flow). Obtenha uma expressão geral para a variação da velocidade média no espaço entre os discos. Para escoamento de arrasto, o perfil de velocidade em qualquer seção transversal na folga é o mesmo que para escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas estacionárias. Avalie o gradiente de pressão d p / d r como uma função do raio. Obtenha uma expressão para p ( r ) . Mostre que a força líquida requerida para manter a placa superior na posição mostrada é:

F = 3 μ Q R 2 h 3 1 - R 0 R 2

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos fazer é relembrar a definição de vazão em função da velocidade média, então, temos:

Q = V - A = V - 2 π r h → V - = Q 2 π r h

Agora, como vimos nessa seção na equação 8.6b, a vazão volumétrica por unidade de profundidade é dada por:

Q L = - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

No nosso caso, temos L = 2 π r e a = h , então a equação se torna:

Q 2 π r = - 1 12 μ ∂ p ∂ x h 3 → ∂ p ∂ x = - 6 μ Q π r h 3

Agora vamos integrar essa expressão de r até R , ou seja, de p até p a t m , então, teremos:

∫ p p a t m ∂ p ∂ x = ∫ r R - 6 μ Q / π h 3 r

Resolvendo as duas integrais, temos:

p a t m - p = - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r r R

Substituindo os valores de integração, temos:

p a t m - p = - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ R + 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r

Pela propriedade dos logarítmos, podemos escrever:

p a t m - p = - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r R

Então, a equação para p será:

p = p a t m - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r R

Passo 2

Dessa forma, agora podemos escrever a força na placa superior como:

d F z = p r - p a t m 2 π r d r

Beleza, agora vamos utilizar pressões manométricas, de modo que p a t m = 0 , então para r = R 0 , integrando a expressão acima, lembrando que temos que aplicar a regra do produto, temos:

F z = p R 0 π R 0 2 + ∫ R 0 R p r 2 π r d r

F z = - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ R 0 R π R 0 2 + 2 π ∫ R 0 R - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r R r d r

F z = - 6 μ Q R 0 2 h 3 ln ⁡ R 0 R - 12 μ Q h 3 ∫ R 0 R ln ⁡ r R r d r

Passo 3

Resolvendo a integral restante, temos:

∫ R 0 R ln ⁡ r R r d r = 1 2 r 2 ln ⁡ r R - r 2 4 R 0 R

Então, substituindo os limites de integração, temos:

∫ R 0 R ln ⁡ r R r d r = 1 2 R 2 ln ⁡ R R - R 2 4 - 1 2 R 0 2 ln ⁡ R 0 R - R 0 2 4

∫ R 0 R ln ⁡ r R r d r = - R 2 4 - 1 2 R 0 2 ln ⁡ R 0 R + R 0 2 4

Então, substituindo essa expressão na equação para F z , temos:

F z = - 6 μ Q R 0 2 h 3 ln ⁡ R 0 R - 12 μ Q h 3 - R 2 4 - 1 2 R 0 2 ln ⁡ R 0 R + R 0 2 4

F z = - 6 μ Q R 0 2 h 3 ln ⁡ R 0 R + 3 μ Q R 2 h 3 + 6 μ Q R 0 2 h 3 ln ⁡ R 0 R - 3 μ Q R 0 2 h 3

Dessa forma, eliminando os dois termos em comum com sinais opostos , ficamos com:

F z = 3 μ Q R 2 h 3 - 3 μ Q R 0 2 h 3 → F z = 3 μ Q R 2 h 3 1 - R 0 2 R 2

Resposta

p = p a t m - 6 μ Q π h 3 ln ⁡ r R

F z = 3 μ Q R 2 h 3 1 - R 0 2 R 2

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