Enunciado

Uma pessoa coloca algumas maçãs em um freezer a - 15 ℃ para esfriá-las rapidamente para os hóspedes que estão prestes a chegar. Inicialmente, as maçãs estão a uma temperatura uniforme de 25 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor sobre as superfícies é 8   W / m 2 ⋅ K . Trate as maçãs como esferas de 9   c m de diâmetro e suas propriedades como sendo ρ = 840   k g / m 3 , c p = 3,81   k J / k g ⋅ K , k = 0,418   W / m ⋅ K e α = 1,3 × 10 - 7   m 2 / s . Determine as temperaturas no centro e na superfície das maçãs após 1 hora. Além disso, determine a quantidade de calor transferido a partir de cada maçã.

Passo 1

Dador fornecidos:

Coeficiente de transferência de calor: h =   8   W / m 2 ⋅ K

Densidade da maçã: ρ = 840   k g / m 3

Calor específico: c p = 3,81   k J / k g ⋅ K

Condutividade térmica: k = 0,418   W / m ⋅ K

Difusividade térmica: α = 1,3 × 10 - 7   m 2 / s

Temperatura inicial: T i = 25 ℃

Temperatura no freezer: T ∞ = - 15 ℃

Tempo que ficou no freezer: t = 1   h o r a = 3600   s

Diâmetro da maçã: D = 9   c m = 0,09   m

Raio da maçã: r o = 0,045   m

Passo 2

Para resolver essa questão, a primeira coisa a ser feita é calcular o número de Biot. A expressão para o número Biot.

B i = h r o k

Aqui, h é o coeficiente de transferência de calor da superfície, k é a condutividade térmica e r o é o raio da maçã. Substituindo os temos da equação pelos dados conhecido, temos:

B i = 8   W / m 2 ⋅ K × 0,045   m 0,418   W / m ⋅ K

B i = 0,861

Como o número de Biot é maior do que 0,1 , a análise do sistema aglomerado não é aplicável. Assim, para este número de Biot, os coeficientes  λ 1 e A 1 de uma esfera podem ser determinados a partir da tabela para o coeficiente usado para a aproximação dimensional da condução de calor unidimensional transitória na esfera. Assim, obtemos por meio de interpolação que:

λ 1 = 1,476

A 1 = 1,239

Passo 3

Agora vamos calcular o número de Fourier  τ usando a fórmula conforme abaixo:

τ = α t r o 2

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

τ = 1,3 × 10 - 7   m 2 / s × 3600   s 0,045   m 2

τ = 0,231

Passo 4

Agora, vamos calcular a temperatura no centro da maçã a partir da solução aproximada com um termo para esfera. Ela pode ser escrita da seguinte maneira.

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T o é a temperatura no centro da maçã,  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura ambiente, A 1 e λ 1 são as constantes. Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T o - - 15 ℃ 25 ℃ - - 15 ℃ = 1,239   e - 1,476 2 × 0,231

T o = - 15 ℃ + 40 ℃ × 0,74905

T o = 15,71 ℃

Portanto, a temperatura no centro da maçã é  15,71 ℃ .

Passo 5

Agora, vamos calcular a temperatura da superfície da maçã a partir da solução aproximada com um termo para esfera. Ela pode ser escrita da seguinte maneira.

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Aqui,  T s é a temperatura na superfície da maçã,  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura ambiente, A 1 e λ 1 são as constantes. Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T s - - 15 ℃ 25 ℃ - - 15 ℃ = 1,239   e - 1,476 2 × 0,231 × sen ⁡ 1,476 1,476

T s = - 15 ℃ + 40 ℃ × 0 , 5052

T s = 5,71 ℃

Assim, a temperatura na superfície da maçã é  5,71 ℃ .

Passo 6

Vamos calcular a massa m da maçã da seguinte maneira:

m = ρ V

m = ρ 4 3 π r o 3

Substituindo os valores fornecidos, temos:

m = 840 k g m 3 × 4 3 π × 0,045   m 3

m = 0,321   k g

Passo 7

Com a massa calculada anteriormente, podemos calcular a transferência máxima de calor Q m á x usando a seguinte fórmula:

Q m á x = m c p T i - T ∞

Substituindo os valores fornecidos, temos:

Q m á x = 0,321   k g × 3,81 k J k g ⋅ K × 25 ℃ - - 15 ℃

Q m á x = 48,92   k J

Passo 8

Com a transferência máxima de calor encontrada, podemos calcular o calor real transferido  Q  da maçã para o ambiente. Assim temos:

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 θ o , e s f e r a sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 T r , t - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Aqui,  Q  é a quantidade real de calor transferido.

Q = Q m á x 1 - 3 T r , t - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

Q = 48,92   k J × 1 - 3 × 5,71 ℃ - - 15 ℃ 25 ℃ - - 15 ℃ × sen ⁡ 1,476 - 1,476 cos ⁡ 1,476 1,476 3

Q = 48,92   k J × 1 - 0,4134

Q = 28,70   k J

Assim, a transferência de calor de cada maçã é  28,70   k J .

Resposta

T o = 15,71 ℃

T s = 5,71 ℃

Q = 28,70   k J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Processos de revestimento por pulverização de plasma são usados com frequência para fornecer proteção superficial a materiais que ficam expostos a ambientes hostis, que induzem a degradação da superfí
Finos filmes de revestimento caracterizados por uma alta resistência a abrasão e a fratura podem ser formados pelo uso de partículas de compósitos em microescala em um processo de pulverização de plas
Uma esfera de metal de diâmetro D , que se encontra a uma temperatura uniforme T i , é subitamente removida de um forno e suspensa por meio de um fio fino em uma grande sala onde o ar está a uma tempe
Um bastão longo de alumínio altamente polido, com diâmetro D = 35m m , está pendurado verticalmente em uma grande sala. A temperatura inicial do bastão é T i = 90 ° C e o ar da sala está a T ∞ = 20 °
Uma esfera de metal de diâmetro D , que se encontra a uma temperatura uniforme T i , é subitamente removida de um forno e suspensa por meio de um fio fino em uma grande sala onde o ar está a uma tempe