Enunciado

Uma mistura quimicamente reativa é armazenada em um recipiente esférico com paredes finas, de raio r 1 = 200   m m . A reação exotérmica gera calor a uma taxa volumétrica uniforme, porém dependente da temperatura na forma q = q 0   .   e x p - A T 0 , sendo q 0 = 5000   W / m ³ , A = 75   K e T 0 a temperatura da mistura em kelvins. O recipiente é envolto por uma camada de material isolante que tem raio externo r 2 , condutividade térmica k e emissividade ε . A superfície externa do isolamento troca calor por convecção e radiação com o ar adjacente e uma grande vizinhança, respectivamente.

  1. Escreva a forma no estado estacionário da equação da difusão térmica para o isolante. Verifique se essa equação é satisfeita pela seguinte distribuição de temperaturas
  2. Esboce a distribuição de temperaturas, T ( r ) , identificando as suas principais características.

  3. Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por
  4. Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para q r , apresentando seu resultado em termos de q e r 1 .

  5. Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento, obtenha uma expressão na qual T s ,   2 possa ser determinada em função de q , r 1 , h , T ∞ , ε e T v i z .
  6. O engenheiro de processos deseja manter a temperatura no reator em T 0 = T ( r 1 ) = 95 ° C em condições nas quais k = 0,05   W / ( m   .   K ) ; r 2 = 208   m m ; h = 5   W / ( m ²   .   K ) ; ε = 0,9 ; T ∞ = 25 ° C e T v i z = 35 ° C . Quais são as temperaturas reais no reator e na superfície externa do isolamento térmico, T s ,   2 ?
  7. Calcule e represente graficamente a variação de T s ,   2 em função de r 2 para 201 ≤ r 2 ≤ 210   m m . O engenheiro está preocupado com eventuais acidentes por queimadura que possam ocorrer com o pessoal que entrar em contato com a superfície exposta do isolante térmico. O aumento da espessura da camada de isolamento térmico é uma solução prática para manter T s ,   2 ≤ 45 ° C ? Que outro parâmetro poderia ser alterado para reduzir o valor de T s ,   2 ?

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questão aí!

Só de olhar o tamanho dessa questão dá nem vontade de fazer, né?

Brincadeiras a parte, relaxa que juntos nós damos conta dessa questão gigante! Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos com pelo começo… Letra a!

Ela ta pedindo pra gente escrever a equação da difusão térmica para o isolante, assumindo estado estacionário… E ver se a distribuição de temperaturas dada satisfaz ela, vamos ver então!

1 r ²   .   d d r   .   r ²   .   d T d r = 0

1 r ²   .   d d r   .   r ²   .   d T s ,   1   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   1 - ( r 1 / r ) 1 - ( r 1 / r 2 ) d r = 0

1 r ²   .   d d r   .   r ²   .   0   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   0 + ( r 1 / r ² ) 1 - ( r 1 / r 2 ) = 0

1 r ²   .   d d r   .   T s ,   1 - T s ,   2   .   r 1 1 - ( r 1 / r 2 ) = 0

Como nossa expressão dentro do colchete não depende de r , então sim! T ( r ) satisfaz a equação!

Além disso a letra pediu pra gente identificar as características da temperatura T ( r )

Bom, a primeira coisa que podemos notar é que T s ,   1 > T s ,   2 , beleza? E além disso quanto maior o raio menor será nossa temperatura, show?

Agora vamos seguir para a letra b!

Passo 3

No caso da letra b, o enunciado pede pra gente mostrar que, partindo da lei de Fourier, a taxa de transferência de calor por condução é dada pela equação que ele nos apresentou… Bom, vamos testar!

A lei de Fourier diz o seguinte:

q r = - k   .   A r   .   d T d r

q r = - k   .   4   .   π   .   r ²   .   d T d r

Substituindo nossa distribuição de temperatura:

q r = - k   .   4   .   π   .   r ²   .   d T s ,   1   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   1 - ( r 1 / r ) 1 - ( r 1 / r 2 ) d r

q r = - k   .   4   .   π   .   r ²   .   0   -   T s ,   1 - T s ,   2   .   0 + ( r 1 / r ² ) 1 - ( r 1 / r 2 )

q r =   4   .   π   .   k   .   T s ,   1 - T s ,   2 ( 1 / r 1 ) - ( 1 / r 2 )

Opa! Conseguimos mostrar o que ele queria… Mas ainda não acabou por aí… A letra b, ainda pede para fazer um balanço de energia, pra gente conseguir uma expressão alternativa para q r

Bom, o nosso balanço de energia ficaria assim:

E e n t r a d a - E s a í d a = 0

q g e r a ç ã o - q r = 0

q r = q g e r a ç ã o

q r = A   .   q

q r = 4 3   .   π   .   r 1 3   .   q

Conseguimos! Acabamos com a letra b!

Passo 4

Na letra c, precisamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento… Vamos lá!

E e n t r a d a - E s a í d a = 0

q r - q c o n v e c ç ã o - q r a d i a ç ã o = 0

q r - h   .   A s   .   T s ,   2 - T ∞ - ε   .   A s   .   σ   .     T s ,   2 4 - T s u p e r f í c i e 4 = 0

E para deixar em função das variáveis que o enunciado pediu, precisamos substituir a área A s = 4   .   π   .   r 2 2

q r - h   .   4   .   π   .   r 2 2   .   T s ,   2 - T ∞ - ε   .   4   .   π   .   r 2 2   .   σ   .     T s ,   2 4 - T s u p e r f í c i e 4 = 0

Prontinho! A letra c já foi!

Passo 5

Agora vamos de letra d…

Ela nos dá vários dados e pede pra gente calcular as temperaturas no reator e na superfície externa do isolamento, ou seja, ela quer o T s ,   1 e o T s ,   2 !

Pra fazer isso precisaremos juntar as equações que desenvolvemos até agora e montar um sistema, beleza?

Vamos começar com a equação da taxa de condução do isolamento, que encontramos lá na primeira parte do passo 3:

q r =   4   .   π   .   k   .   T s ,   1 - T s ,   2 ( 1 / r 1 ) - ( 1 / r 2 )

q r =   4   .   π   .   0,05   .   T s ,   1 - T s ,   2 ( 1 / 0,200 ) - ( 1 / 0,208 )

q r =   4   .   π   .   0,05   .   T s ,   1 - T s ,   2 0,192

q r =   3,267   .   T s ,   1 - T s ,   2

Agora a equação da segunda parte do passo 3:

q r = 4 3   .   π   .   r 1 3   .   q

q r = 4 3   .   π   .   ( 0,200 ) 3   .   q 0   .   e x p - A T 0

q r = 4 3   .   π   .   ( 0,200 ) 3   .   5000   .   e x p - 75 T s ,   1

q r = 167,55   .   e x p - 75 T s ,   1

E por último a equação final do nosso passo 4:

q r - 5   .   4   .   π   .   0,208 ²   .   T s ,   2 - 298 - 0,9   .   4   .   π   .   0,208 ²   .   5,67   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 - 308 4 = 0

q r - 2,718   .   T s ,   2 - 298 - 2,7   .   10 - 8   .     T s ,   2 4 - 308 4 = 0

q r - 2,718   .   T s ,   2 - 810 - 2,7   .   10 - 8   .   T s ,   2 4 - 243 = 0

q r - 2,718   .   T s ,   2 + 810 - 2,7   .   10 - 8   .   T s ,   2 4 + 243 = 0

- 2,718   .   T s ,   2 - 2,7   .   10 - 8   .   T s ,   2 4 =   - 1053 - q r

2,718   .   T s ,   2 + 2,7   .   10 - 8   .   T s ,   2 4 =   1053 + q r

Agora podemos substituir nossa segunda equação na terceira e ficar com:

2,718   .   T s ,   2 + 2,7   .   10 - 8   .   T s ,   2 4 =   1053 + 167,55   .   e x p - 75 T s ,   1

E montar um sistema com a primeira equação, onde vamos ter duas equações e duas incógnitas… Dessa forma a gente acha que:

T s ,   1 = 94,3 ° C e T s ,   2 = 52,5 ° C

Agora só falta a última letrinhas… Vamos nessa!

Passo 6

A letra e, quer que a gente faça um gráfico de T s ,   2 em função de r 2 , com a seguinte condição:

201 ≤ r 2 ≤ 210   m m

Além disso, a questão pergunta também qual parâmetro poderia ser alterado para diminuir nosso T s ,   2 … Bom, se a gente aumenta nosso h conseguiremos fazer isso, podemos comprovar observando a curva verde no nosso gráfico!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque esférico de 4m de diâmetro contém um gás de petróleo liquefeito a - 60 ℃ ℃. Isolamento com condutividade térmica de 0,06W / m ⋅ K e espessura de 250m m é aplicado ao tanque para reduzir o ga
Um tanque esférico para armazenar oxigênio líquido deve ser feito de aço inoxidável com 0,75m de diâmetro externo e 6m m de espessura de parede. O ponto de ebulição e o calor latente de vaporização do
Um aquecedor de ar pode ser fabricado pelo enrolamento de um fio de níquel cromo e passagem do ar em escoamento cruzado ao fio. Considere um aquecedor fabricado com um fio de diâmetro D = 2m m , resis
Derive as Equações C.3, C.6 e C.9 do Apêndice C.
Derive as Equações C.2, C.5 e C.8 do Apêndice C.